Инженерная и компьютерная графика

Конспект лекций

назад | содержание | вперёд

Лекция 1.1 - ПРОЕЦИРОВАНИЕ. ТОЧКА. ЛИНИЯ

1.1.1 - ПРЕДМЕТ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

В математическом энциклопедическом словаре дается следующее определение: «Начертательная геометрия – раздел геометрии, в котором пространственные фигуры, а также методы решения и исследования пространственных задач изучаются с помощью их изображений на плоскости».

Методы начертательной геометрии являются теоретической базой для решения задач технического черчения. В технике чертежи являются основным средством выражения человеческих идей. Они должны не только определять форму и размеры предметов, но и быть достаточно простыми и точными в графическом исполнении, помогать всесторонне, исследовать предметы и их отдельные детали. Для того чтобы правильно выразить свои мысли с помощью рисунка, эскиза, чертежа требуется знание теоретических основ построения изображений геометрических объектов, их многообразие и отношения между ними, что и составляет предмет начертательной геометрии.

Изображение фигуры на плоскости как графический способ представления информации о ней имеет преимущества в сравнении с другими способами:

·         общение становится более доступным, потому что образы, создаваемые на основе визуального (зрительного) восприятия, обладают большей, чем слова, ассоциативной силой;

·         изображения являются интернациональным языком общения, тогда как, например, вербальное общение требует для понимания, как минимум знания языка собеседника.

Таким образом, теоретические основы визуализации информации о геометрических объектах, многообразие геометрических объектов пространства, отношения между ними и их графического отображения на плоскости составляют предмет начертательной геометрии.

Задача этой науки – создание оптимальных геометрических форм объектов машиностроения, архитектуры и строительства, разработка теории графического отображения объектов и процессов.

Начертательная геометрия со времен ее основоположника Г. Монжа (1746-1818) завоевала свое достойное место в высшей школе как наука. В 1798г. в России Яковлев - читал первый курс начертательной геометрии. Важнейшее прикладное значение начертательной геометрии как учебной дисциплины состоит в том, что она учит владеть графическим языком, выполнять и читать чертежи и другие изображения геометрических объектов, без чего немыслимо формирование инженера. Она обеспечивает преемственность между школьными курсами геометрии и черчения и графическими дисциплинами вуза.

Изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственного воображения и навыков правильного логического мышления. Совершенствуя нашу способность - по плоскому изображению мысленно создавать представления о форме предмета и наоборот создание изображений мысленно созданных образов – визуализация мысли.

Однако не всякое изображение отображает геометрические свойства оригинала и не может быть принято для всестороннего его исследования. Принципиальное отличие методов изображения, изучаемых в курсе начертательной геометрии, от некоторых современных технических средств отображения (фотография, голография и др.), заключается в возможности с большой наглядностью и метрической достоверностью отобразить не только существующие предметы, но и возникающие в нашем представлении образы проектируемого объекта.

Изображение, которое позволяет определять взаимосвязь (взаимопринадлежность) элементов объекта, называют полным.

Изображения, по которым можно определить размеры объекта, называется метрически определенными.

Из плоскостных изображений объекта наиболее широкое применение в практике получили рисунки и чертежи. Рисунком называют изображение предмета от руки и на глаз с кажущимися относительными размерами и положениями отдельных его элементов. Чертежом называют изображение предмета, построенное по особым правилам с помощью чертежных инструментов в точной зависимости от размеров и положения в пространстве соответствующих линий предмета.

В технике чертежи являются основным средством выражения человеческих идей. Они должны не только определять форму и размеры предметов, но и быть достаточно простыми и точными в графическом исполнении, помогать всесторонне, исследовать предметы и их отдельные детали.

Эти требования к чертежам и привели к созданию теории изображений, составляющей основу начертательной геометрии. Правила построения изображений основаны на методе проекций. Поэтому проекционный метод построения изображений является основным методом начертательной геометрии

Итак, в курсе начертательной геометрии изучаются:

1.         методы отображения пространственных объектов на плоскости;

2.         способы графического и аналитического решения различных геометрических задач;

3.         приемы увеличения наглядности и визуальной достоверности изображений проецируемого объекта;

4.         способы преобразования и исследования геометрических свойств изображенного объекта;

5.         основы моделирования геометрических объектов.

1.1.2 - ВИДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Одно из основных геометрических понятий – отображение множеств. В начертательной геометрии каждой точке трехмерного пространства ставится в соответствие определенная точка двумерного пространства – плоскости. Геометрическими элементами отображения служат точки, линии, поверхности пространства. Геометрический объект, рассматриваемый, как точечное множество отображается на плоскость по закону проецирования. Результатом такого отображения является изображение объекта.

·         Центральное проецирование

Рисунок 1.1.2.1 – Центральное проецирование

Где:

П - плоскость проекции;

S - центр проецирования (не лежащий на плоскости П);

A и B - точки в пространстве;

a, b - проекции точек на плоскости П;

Aa и Bb - проецирующие лучи.

Проекция точки – это точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекции. Все проецирующие лучи проходят через одну точку S.

·         Параллельное проецирование

Рисунок 1.1.2.2 – Параллельное проецирование

Где:

П - плоскость проекции;

S - направление проецирования;

A и B - точки в пространстве;

a,b - проекции точек на плоскости П;

Aa и Bb - проецирующие лучи.

Все проецирующие лучи параллельны между собой и параллельны S.

Параллельное проецирование подразделяют на два вида:

·         косоугольное – это такой вид проецирования, при котором проецирующие лучи составляют с плоскостью проекции угол отличный от прямого;

·         ортогональное – это такой вид проецирования, при котором проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекции.

1.1.3 - ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Основными и неизменными свойствами центрального проецирования (инвариантами) являются следующие:

1.   проекция точки – точка;

2.   проекция прямой – прямая;

3.   если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой.

По принципу центрального проецирования работают фотоаппараты и кинокамеры. Упрощенная схема работы человеческого глаза близка к этому виду проецирования: роль центра проецирования выполняет оптический центр хрусталика, роль проецирующих прямых – лучи света; плоскостью проекций служит сетчатка глаза. Поэтому изображения, построенные по принципу центрального проецирования, наиболее наглядны и их широко используют в своей работе художники, архитекторы, дизайнеры и многие другие специалисты.

Частный случай центрального проецирования – параллельное проецирование, когда центр проецирования удален в бесконечность, при этом проецирующие лучи можно рассматривать как параллельные проецирующие прямые. Положение проецирующих прямых относительно плоскости проекций определяется направлением проецирования S (рисунок 1.4). В этом случае полученное изображение называют параллельной проекцией объекта.

При параллельном проецировании сохраняются свойства центрального и добавляются следующие:

1.    проекции параллельных прямых параллельны между собой;

2.    отношение отрезков прямой равно отношению их проекций;

3.    отношение отрезков двух параллельных прямых равно отношению их проекций.

В свою очередь параллельные проекции подразделяются на прямоугольные, когда проецирующие прямые перпендикулярны плоскости проекций, и косоугольные, когда направление проецирования образует с плоскостью проекций угол не равный 900

Таким образом, ортогональное (прямоугольное) проецирование является частным случаем параллельного и полученная этим методом проекция объекта называется ортогональной.

Ортогональному проецированию присущи все свойства параллельного и центрального проецирования. Кроме того, справедлива теорема о проецировании прямого угла: если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в прямой угол.

К проекционным изображениям в начертательной геометрии предъявляются следующие основные требования:

1. Обратимость – восстановление оригинала по его проекционным изображениям (чертежу) – возможность определять форму и размеры объекта, его положение и связь с окружающей средой;

2. Наглядность – чертеж должен создавать пространственное представление о форме предмета;

3. Точность – графические операции, выполненные на чертеже, должны давать достаточно точные результаты;

4. Простота – изображение должно быть простым по построению и должно допускать однозначное описание объекта в виде последовательности графических операций.

1.1.4 - ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Различают косоугольные и прямоугольные параллельные проекции.

Косоугольные –- проецирующий луч составляет с плоскостью проекций угол, отличный от прямого.

Прямоугольные – угол между проецирующим лучом и плоскостью проекций - прямой. Прямоугольные проекции называют ортогональными (от греческого ortos –прямой).

При ортогональном проецировании в пространство вводят три взаимно перпендикулярные плоскости, которым присваивают следующие названия и обозначения:

Фронтальная плоскость проекций - П2

Горизонтальная плоскость проекций - П1

Профильная плоскость проекций - П3

Плоскости проекций бесконечны и, пересекаясь, делят пространство на восемь частей – октантов. В практике построения изображений чаще всего используют первый октант.

При пересечении плоскостей проекций образуются прямые линии – оси проекций:

·         ось X (икс) – ось абсцисс

·         ось Y (игрек) – ось ординат

·         ось Z (зет) – ось аппликат

Оси можно проградуировать, и тогда получим координатную систему осей и плоскостей проекций, в которой легко построить объект по заданным координатам. Более подробно этот вопрос мы рассмотрим в методических рекомендациях к выполнению контрольной работы.

Ортогональным проекциям присущи все свойства параллельных проекций.

1.1.5 - МЕТОД МОНЖА

Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным. Основные принципы построения таких чертежей изложены Г. Монжем.

Гаспар Монж (1746-1818 гг.) крупный французский геометр, один из основателей знаменитой политехнической школы в Париже и участник работ по введению метрической системы мер и весов.

Постепенно накопившиеся отдельные правила, и приемы таких изображений были приведены в систему и развиты в труде Г. Монжа «Geometrie descriptive».

Изложенный Монжем метод - метод ортогонального проецирования, причем берутся две проекции на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, – обеспечивая выразительность, точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости, был и остается основным методом составления технических чертежей

 

Рисунок 1.1.5.1 – Пространственная модель двух плоскостей проекций

В соответствии с методом, предложенным Г. Монжем, рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рисунок 3). Одну из плоскостей проекций П1 располагают горизонтально, а вторую П2 – вертикально, П1 – горизонтальная плоскость проекций, П2 – фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.

Линия пересечения плоскостей проекций называется осью координат и обозначается x21.

Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те геометрические объекты, которые располагаются в пределах той же первой четверти.

Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных проекций, плоскость П1 совмещают вращением вокруг оси x12 с плоскостью П2 (рисунок 1.1.5.1). Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещенные определенным образом одна с другой, называется эпюром (франц. «Epure» – чертеж). Эпюр часто называют эпюром Монжа.

Рисунок 1.1.5.2 – Пространственная модель и эпюр трех плоскостей проекций

В практике изображения различных геометрических объектов, чтобы сделать проекционный чертеж более ясным, возникает необходимость использовать третью – профильную плоскость проекций П3, расположенную перпендикулярно к П1 и П2. В соответствии с ГОСТ 2.305-68 плоскости проекций П1 П2 и П3 относятся к основным плоскостям проекций.

Модель трех плоскостей проекций показана на рисунке 1.1.5.2. Третья плоскость, перпендикулярная и П1, и П2, обозначается буквой П3 и называется профильной.

Проекции точек на эту плоскость обозначаются заглавными буквами или цифрами с индексом 3.

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси 0x, 0y и 0z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке 0.

Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов – октантов. Как и прежде, будем считать, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте.

Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости П1 и П3 вращают, как показано на рисунке 1.1.5.2, до совмещения с плоскостью П2. При обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси обычно не указывают. Если существенно только само изображение предмета, а не его положение относительно плоскостей проекций, то оси на эпюре не показывают.

Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определения ее положения в пространстве или на поверхности. В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат x , y и z (абсцисса, ордината и аппликата).

Геометрические объекты делятся на: линейные (точка, прямая, плоскость), нелинейные (кривая линия, поверхность) и составные (многогранники, одномерные и двумерные обводы).

1.1.6 - ТОЧКА

Геометрический объект любой сложности можно рассматривать как геометрическое место точек, по взаимному расположению, которых можно составить представление об объекте, а по расположению их относительно системы координат можно судить о положении его в пространстве.

Точка - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии точка обычно принимается за одно из исходных понятий.

При построении проекции необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость. На рисунке 1.1.6.1 показана точка А и ее ортогональные проекции А1 и А 2.

Точку А1 называют горизонтальной проекцией точки А, точка А2 - ее фронтальной проекцией. Проекции точки всегда расположены на прямых, перпендикулярных оси x21 и пересекающих эту ось в одной и той же точке А.

Описание: 1

Рисунок 1.1.6.1 – Эпюр точки

Справедливо и обратное, т. е. Если на плоскостях проекций даны точки А1 и А2 расположенные на прямых, пересекающих ось x21 в точке Аx под прямым углом, то они являются проекцией некоторой точки А.

На эпюре Монжа проекции А1 и А2 окажутся расположенными на одном перпендикуляре к оси x21. При этом расстояние А1Аx -от горизонтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П2, а расстояние А2Аx - от фронтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П1.

Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, называются линиями проекционной связи.

Рисунок 1.1.6.2 – Точки в различных четвертях пространства

На рисунке 1.1.6.2 представлены точки A B C D, расположенные в разных четвертях пространства и их эпюр (A- в первой четверти, B-во второй, C- в третьей и D- четвертой четверти).

1.1.7 - ТОЧКА В ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

При построении проекции необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость. На рисунке 1.1.7.1 показана точка А и ее ортогональные проекции А1 и А 2.

Точку А1 называют горизонтальной проекцией точки А, точка А2 - ее фронтальной проекцией. Проекции точки всегда расположены на прямых, перпендикулярных оси x21 и пересекающих эту ось в одной и той же точке А.

Описание: 1

Рисунок 1.1.7.1 – Точка в системе двух плоскостей проекций

Справедливо и обратное, т. е. Если на плоскостях проекций даны точки А1 и А2 расположенные на прямых, пересекающих ось x21 в точке Аx под прямым углом, то они являются проекцией некоторой точки А.

На эпюре Монжа проекции А1 и А2 окажутся расположенными на одном перпендикуляре к оси x21. При этом расстояние А1Аx -от горизонтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П2, а расстояние А2Аx - от фронтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П1.

Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, называются линиями проекционной связи.

Рисунок 1.1.7.2 – Точки в различных четвертях пространства

На рисунке 1.1.7.2 представлены точки A B C D, расположенные в разных четвертях пространства и их эпюр (A- в первой четверти, B-во второй, C- в третьей и D- четвертой четверти).

1.1.8 - ТОЧКА В ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

В практике изображения различных геометрических объектов, чтобы сделать проекционный чертеж более ясным, возникает необходимость использовать третью – профильную плоскость проекций П3, расположенную перпендикулярно к П1 и П2. В соответствии с ГОСТ 2.305-68 плоскости проекций П1 П2 и П3 относятся к основным плоскостям проекций.

Третья плоскость, перпендикулярная и П1, и П2, обозначается буквой П3 и называется профильной.

Проекции точек на эту плоскость обозначаются заглавными буквами или цифрами с индексом 3.

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси 0x, 0y и 0z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке 0.

Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов - октантов. Как и прежде, будем считать, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте.

Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости П1 и П3 вращают, как показано на рисунке 1.1.8., до совмещения с плоскостью П2. При обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси обычно не указывают. Если существенно только само изображение предмета, а не его положение относительно плоскостей проекций, то оси на эпюре не показывают.

Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определения ее положения в пространстве или на поверхности. В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат x , y и z (абсцисса, ордината и аппликата).

Рисунок 1.1.8.1 – Получение эпюра 8 октантов

 

Октант

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

x

+

+

+

+

-

-

-

-

y

+

-

-

+

+

-

-

+

z

+

+

-

-

+

+

-

-

Таблица 1.1.8.1 – Знаки координат в октантах

Если точка принадлежит хотя бы одной плоскости проекций, она занимает частное положение относительно плоскостей проекций. Если точка не принадлежит ни одной из плоскостей проекций, она занимает общее положение.

1.1.9 - ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК

Можно выделить три основных варианта взаимного расположения точек:

1.Пусть точки А и В (рисунок 1.1.9.1) расположены в первой четверти так, что:

- YА>YВ. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П2 и ближе к наблюдателю, чем точка В

- ZА>ZВ. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П1 и ближе к наблюдателю, чем точка В;

- XА<XВ. Тогда точка В расположена дальше от плоскости П3 и ближе к наблюдателю, чем (при взгляде слева) точка А.

Рисунок 1.1.9.1 – Взаимное расположение точек

2.– YА=YВ, то точки А и В равноудалены от плоскости П2 и их горизонтальные проекции расположатся на прямой А1В1// x12. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П2.

– ZА=ZВ, то точки А и В равноудалены от плоскости П1 и их фронтальные проекции расположатся на прямой А2В2// x12. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П1.

– XА=XВ, то точки А и В равноудалены от плоскости П3 и их горизонтальные и фронтальные проекции расположатся, соответственно, на прямых А1В1// y и А2В2//z . Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П3.

  1. Если у точек равны две одноименные координаты, то они называются конкурирующими. Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой. На рисунке 1.1.9.2. даны три пары таких точек, у которых:

XА=XD;YА=YD;ZА>ZD;

XA=XC;ZA=ZC;YA>YC;

YA=YB;ZA=ZB;XA>XB;

Соответствующие проекции конкурирующих точек совпадают.

Рисунок 1.1.9.2 – Конкурирующие точки

Различают: горизонтально конкурирующие точки А и D, расположенные на горизонтально проецирующей прямой АD; фронтально конкурирующие точки A и C расположенные на фронтально проецирующей прямой AC; профильно конкурирующие точки A и B, расположенные на профильно проецирующей прямой AB.

При проецировании на соответствующую плоскость проекций одна точка «закроет» другую точку, конкурирующую с ней, соответствующая проекция которой окажется невидимой.

1.1.10 - ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

Прямая линия - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим.

Прямая линия в линейной алгебре - линия первого порядка. Общее уравнение прямой:

Ах+Ву+С=0,

где А, В и С - любые постоянные.

1.1.11 - ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

В зависимости от положения прямой по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

·         Прямая не параллельная ни одной плоскости проекций называется прямой общего положения (рисунок 1.1.11.1).

Рисунок 1.1.11.1- Прямая общего положения

·         Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются прямыми уровня. В зависимости от того, какой плоскости проекций параллельна заданная прямая, различают:

А) Прямые параллельные горизонтальной плоскости проекций называются горизонтальными или горизонталями.

Рисунок 1.1.11.2 – Горизонтальная прямая

Б) Прямые параллельные фронтальной плоскости проекций называются фронтальными или фронталями.

Рисунок 1.1.11.2 – Фронтальная прямая

В) Прямые параллельные профильной плоскости проекций называются профильными. Различают восходящую и нисходящую профильные прямые. Первая по мере удаления от зрителя поднимается, вторая - понижается.

Рисунок 1.1.11.3 – Профильная прямая

·         Прямые перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими. Прямая перпендикулярная одной плоскости проекций, параллельна двум другим. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна исследуемая прямая, различают: фронтально проецирующая прямая, профильно проецирующая прямая, горизонтально проецирующая прямая.

 

Рисунок 1.1.11.4 – Горизонтально проецирующая прямая

 

Рисунок 1.1.11.5 – Фронтально проецирующая прямая

 

Рисунок 1.1.11.6 – Профильно проецирующая прямая

 

наверх


назад | содержание | вперёд