Инженерная и компьютерная графика

Конспект лекций

назад | содержание | вперёд

Лекция 1.4 - ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

1.4.1 - ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Поверхности взаимодействуют, пересекаясь друг с другом. При этом линии одной поверхности пересекаются с другой поверхностью и образуют точки, которые в совокупности представляют линию пересечения (рисунок 1.4.2.1).

Вид линии пересечения зависит от сочетаний пересекающихся поверхностей. Если пересекаются два многогранника, то линия пересечения – пространственная ломаная с прямыми звеньями. Пересечение поверхности вращения с многогранником производит пространственную ломаную с кривыми звеньями. При пересечении двух поверхностей вращения в общем случае получается пространственная кривая четвертого порядка.

Пересечение может быть полным и неполным (врезание). При врезании получается один контур линии пересечения, при полном пересечении образуется два замкнутых контура.

Способы построения точек, принадлежащих линии пересечения:

a)    способ вспомогательных секущих плоскостей – этот метод применяется для тех поверхностей, которые можно рассечь плоскостью по графически простым линиям;

b)    способ сфер - этот метод применяется в том случае если одной плоскостью нельзя рассечь поверхности по графически простым линиям, если оси поверхностей вращения пересекаются между собой и лежат в плоскости параллельной одной из плоскостей проекции.

1.4.2 - ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ

Алгоритм построения точек линии пересечения:

1)    Анализ условия. Определить типы пересекающихся поверхностей, характер линии пересечения, количество контуров и способ построения точек линии пересечения.

2)    Построить опорные точки линии пересечения. К ним относятся точки пересечения контурных (очерковых или крайних) образующих одной поверхности с другой поверхностью. Эти точки будут, как правило, экстремальными. Эти же точки определяют границы видимости линии пересечения. Опорные точки обозначать обязательно.

3)    Построить дополнительные точки. Эти точки выбираются произвольно между характерными для уточнения кривизны линии пересечения. Дополнительные точки можно не обозначать.

4)    Полученные точки соединить плавной кривой с учетом видимости, считая пересекающиеся поверхности монолитными и непрозрачными.

Рисунок 1.4.2.1 – Пример выполнения взаимного пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей

1.4.3 - МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ СФЕР

При определении линии пересечения двух поверхностей вращения, при их особом взаимном расположении, не всегда рационально применять вспомогательные секущие плоскости. В некоторых случаях применяют метод вспомогательных секущих сфер – концентрических или эксцентрических.

Концентрические сферические посредники применяются при определении линии пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями. 

Каждая из этих поверхностей имеет семейство окружностей, являющихся линиями сечения их концентрическими сферами. Применению метода концентрических сфер должно предшествовать такое преобразование чертежа в результате, которого оси обеих поверхностей должны быть расположены параллельно одной и той же плоскости проекций (рисунок 1.4.3.1) или одна из осей становиться проецирующей прямой, а вторая - линией уровня (рисунок 1.4.3.2).

Рисунок 1.4.3.1 – Пересечение поверхностей вращения, оси которых параллельны фронтальной плоскости проекций

Оси поверхностей G и Q параллельны фронтальной плоскости проекций и пересекаются в точки А (рисунок 1.4.3.1). Эта точка принимается за центр всех вспомогательных концентрических сфер. Каждая из концентрических сфер пересекает поверхности по окружностям - параллелям (а, b, c, d, n), фронтальные проекции которых являются прямыми линиями (а2, b2, c2, d2, n2). Проекции точек 12, 22, 32, 42, 52 и 62 пересечения проекций параллелей принадлежат проекции искомой линии пересечения поверхностей. Пересечение главных меридианов определяет крайние точки 7 и 8. Для точного построения линии пересечения поверхностей необходимо найти точки 9 и 10, которые определяют границу зоны видимости линии пересечения поверхностей на горизонтальной проекции. Для этой цели использовалась вспомогательная секущая плоскость β, которая пересекает поверхность Q по линии m, а поверхность G по образующим, горизонтальные проекции которых, пересекаясь, определяют положение искомых точек. 

Соединив найденные точки 1...10 с учетом видимости получим линию пересечения поверхностей.

Вторым примером использования в качестве вспомогательных поверхностей посредников концентрических сфер рассмотрим при определении линии пересечения поверхностей предложенных на рисунке 1.4.3.2. Оси поверхностей вращения G и Q пересекаются в точке А, при этом ось поверхности Q - фронтально проецирующая прямая, а ось поверхности G - горизонталь. Точка А принимается за центр всех вспомогательных концентрических сфер.

Точки 1 и 2 линии пересечения построены с помощью сферы радиуса R. Эта сфера пересекает поверхность Q по окружности а, а поверхность G по окружности в, которая показана только на горизонтальной проекции. Пересечение горизонтальных проекций окружностей а1 и в1 определяют проекции 11 и 21 точек линии пересечения. Их фронтальные проекции 12 и 22 построены на а2 пересечении с линиями связи.

Аналогично найдены точки 3 и 4.

Для нахождения точек 5 и 6 определяющих границу зоны видимости на горизонтальной проекции использовалась вспомогательная секущая плоскость β, которая пересекает поверхность Q по окружность n, а коническую поверхность G по треугольнику, определяющему ее очерк на горизонтальной проекции.

Точки 7 и 8 находятся на границе зоны видимости фронтальной проекции, для их нахождения используется вспомогательная секущая плоскость γ.

Соединив найденные точки 1...8 с учетом видимости получим линию пересечения поверхностей G и Q.

Рисунок 1.4.3.2 – Пересечение поверхностей вращения, ось одной - горизонтально проецирующая прямая, а второй – горизонталь

1.4.4 - ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени.

Две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной линии четвертого порядка, которую называют биквадратной кривой.

В некоторых случаях биквадратная кривая распадается на две плоские кривые второго порядка, причем одна из них может быть мнимой.

Опуская доказательства, приведем некоторые теоремы и примеры, иллюстрирующие их применение.

Теорема 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то существует и другая плоская кривая, по которой они пересекаются.

Рассмотрим пример, к которому приложима теорема.

Фронтальные проекции θ2 сферы Θ и Ω2 эллиптического цилиндра Ω, имеющих общую окружность m(m2) с центром О(О2) (рисунок 1.4.4.1).

Рисунок 1.4.4.1 – Пересечение сферы и эллиптического цилиндра

Плоскость σ, определяемая центром сферы С и осью i цилиндра, является плоскостью симметрии заданных поверхностей, и параллельна фронтальной плоскости проекций.

Общая окружность радиуса r – это одна из плоских кривых второго порядка распавшейся линии пересечения. Остается построить вторую кривую, плоскость α которой должна быть в условиях данного примера перпендикулярна плоскости симметрии σ, а, следовательно, и П2. Вторая линия пересечения (окружность) проецируется на П2 в виде отрезка прямой n2. Для ее построения следует воспользоваться точками А2 и В2, принадлежащими очеркам заданных поверхностей.

Теорема 2.(о двойном касании). Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках А и В, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскость которых проходит через отрезок АВ, соединяющий точки касания.

Рисунок 1.4.4.2 – Пересечение сферы и эллиптического цилиндра  имеющих две точки касания

Например, по двум окружностям m и n пересекается сфера Σ и эллиптический цилиндр Θ (рис.8.37). Точки касания и касательные плоскости обозначены соответственно через А, В, α, β. Окружности, на которые распалась линия пересечения поверхностей, расположены во фронтально- проецирующих плоскостях γ и δ.

Теорема 3. (теорема Г. Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки линий касания.

Рисунок 1.4.4.3 Пересечение конуса и цилиндра, имеющих общую вписанную сферу

В соответствии с этой теоремой линия пересечения конуса Σ и цилиндра Θ (рисунок 1.4.4.3), описанных около сферы Ω, будут плоскими кривыми – эллипсами (расположенными в плоскостях α и β), фронтальные проекции которых изображаются прямыми А2В2 и С2D2,

Теорема Монжа находит эффективное применение при конструировании трубопроводов.

Теорема 4. Если две поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде кривой второго порядка.

Рисунок 1.4.4.4 – Пересечение сферы и цилиндра

Плоскость симметрии определена осью симметрии цилиндра Θ и центром сферы Σ (рисунок 1.4.4.4). Плоскости принадлежат и симметричные сами себе точки A, B, C и D линий пересечения. Проекция же линий на фронтальную плоскость имеет форму параболы m2 и аналитически описывается формулой параболы.

 

наверх


назад | содержание | вперёд