Инженерная и компьютерная графика

Конспект лекций

назад | содержание | вперёд

Лекция 1.5 – КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ

1.5.1 - СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Во многих случаях трудоемкость решения задачи зависит не столько от сложности ее условия, сколько от положения заданных геометрических фигур относительно плоскостей проекций. Во всех случаях, когда заданные геометрические фигуры являются проецирующими, решение задачи, как правило, упрощается, Такое положение геометрических фигур относительно плоскостей проекций, при котором мы непосредственно по чертежу получаем ответ на поставленный в задаче вопрос, называется наивыгоднейшим. Например, по рисунку 1.5.1.1, б можно сразу определить расстояние между параллельными прямыми а и б, а по рисунку 1.5.1.1,а, этого сделать нельзя.

Описание: prk3_3.jpg

Рисунок 1.5.1.1

Таким образом, при решении той или иной задачи бывает целесообразно преобразовать чертеж так, чтобы заданные геометрические фигуры оказались бы в наивыгоднейшем положении относительно плоскостей проекций. Для этого существуют различные способы преобразования комплексного чертежа. Каждый из них основан на одном из следующих принципов:

1) на изменении положения плоскостей проекций относительно неподвижных геометрических фигур;

2) на изменении положения заданных геометрических фигур относительно неподвижных плоскостей проекций;

3) на изменении направления проецирования, т. е. на замене ортогонального проецирования косоугольным или центральным на одну из старых плоскостей проекций или на какую-нибудь новую. Рассмотрим некоторые из них.

1.5.2 - СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Сущность способа состоит в том, что одну из заданных плоскостей проекций (П1 или П2) заменяют новой плоскостью П4. При этом положение второй плоскости проекций и заданных геометрических фигур остается неизменным. Новая плоскость проекций П4 выбирается с таким расчетом, чтобы она занимала частное положение по отношению к рассматриваемой геометрической фигуре и была при этом перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций. Таким образом, исходная (старая) система плоскостей проекций П21 может быть преобразована в новую систему П2/ П4 при замене плоскости П1 плоскостью П4 П2 или в систему П41 при замене плоскости П2 плоскостью П4П1. Каждая из этих полученных систем может быть преобразована в новую путем замены плоскости проекций, не заменявшейся в предыдущем преобразовании. Таким образом, система П2/ П4 может быть преобразована в систему П54 при замене плоскости П2 плоскостью П5 П4, а система П41 - в систему П45 - при замене плоскости П1 плоскостью П5П4 и т. д.

Такое последовательное преобразование исходной системы плоскостей проекций позволяет получить новую систему, в которой рассматриваемые геометрические фигуры окажутся в выгодном положении относительно плоскостей проекций. Большинство задач решается с применением одного или двух последовательных преобразований исходной системы плоскостей проекций. Одновременно можно заменять только одну плоскость проекций П1 (или П2), другая плоскость П2 (или П1) должна оставаться неизменной.

Все свойства геометрических фигур и их изображений, ранее рассмотренные в исходной П21 системе, справедливы и для новой системы плоскостей проекций.

Каждая новая плоскость проекций П4, П5, ... условно называется так же, как та из основных, которую она заменяет. Так, например, плоскость П4, заменяющая горизонтальную плоскость П1, условно называется также "горизонтальной", хотя она не занимает горизонтального положения в пространстве.

Рассмотрим инварианты преобразования, позволяющие по чертежу объекта, выполненному в старой системе, построить чертеж в новой системе плоскостей проекций.

Замена фронтальной плоскости проекций (преобразование системы П21 в систему П41)

Описание: prk3_1.jpg

Рисунок 1.5.2.2

Исходная (старая) система плоскостей проекций П21, точка А пространства, ее ортогональные, проекции А1 и А2, изображены на рисунке 1.5.2.2.

Заменим фронтальную плоскость проекций П2, новой плоскостью П4 (которую условно будем называть тоже фронтальной), перпендикулярной к П1, и образующей с плоскостью П2 некоторый угол (в случае проецирования точки этот угол произволен). В результате получим новую систему плоскостей проекций П41. Плоскость П1 является общей для старой и новой систем плоскостей проекций.

В новой системе П41 имеем: X14 = П1 П4 - новая ось проекций, А1 и А4 - ортогональные проекции точки А.

При переходе от старой системы П21 к новой П41 остаются неизменными (являются инвариантами преобразования):

1) плоскость П1 и точка А;

2) горизонтальная проекция А1, точки А;

3) расстояние точки А до плоскости П1, т. е. | AA1 | = | A2A12 | = | A4A14 |.

Выявленные инварианты преобразования позволяют построить по комплексному чертежу точки в старой системе плоскостей проекций ее комплексный чертеж в повой системе. Для этого на комплексном чертеже точки А (А12) проводим новую ось проекций х14 (рисунок 1.5.2.2), положение которой определяется положением новой фронтальной плоскости проекций П4. Из точки А1 проводим линию связи, перпендикулярную новой оси проекций х14. На линии связи от точки А14 откладываем отрезок | А14А4 | = | А12А2 |. Полученная таким образом точка А4 является проекцией точки А на плоскость П4. В новой системе плоскостей проекций П41 положение точки А определяется проекциями А1 и А4.

Замена горизонтальной плоскости проекций (преобразование системы П21 в систему П24)

Описание: prk3_2.jpg

Рисунок 1.5.2.3

Исходная (старая) система плоскостей проекций П21, точка А пространства, ее ортогональные, проекции А1 и А2, изображены на рисунке 1.5.2.3.

Заменим горизонтальную плоскость проекций П1, новой плоскостью П4 (которую условно будем называть тоже горизонтальной), перпендикулярной к П2, и образующей с плоскостью П1 некоторый угол (в случае проецирования точки величина угла произвольна). В результате получим новую систему плоскостей проекций П24. Плоскость П2, является общей для старой и новой систем плоскостей проекций. В новой системе П24 имеем: X24 = П2 П4 - новая ось проекций, А2 и А4 - ортогональные проекции точки А.

При переходе от старой системы П21 к новой П24 остаются неизменными (являются инвариантами преобразования):

1) плоскость П2 и точка А;

2) фронтальная проекция А2, точки А;

3) расстояние точки А до плоскости П2, т. е. | AA2 | = | A1A12 | = | A4A24 |.

Выявленные инварианты преобразования позволяют построить по комплексному чертежу точки в старой системе плоскостей проекций ее комплексный чертеж в повой системе. Для этого на комплексном чертеже точки А (А12) проводим новую ось проекций х24 (рисунок 1.3.5.2.4), положение которой определяется положением новой горизонтальной плоскости проекций П4. Из точки А2 проводим линию связи, перпендикулярную новой оси проекций х24. На линии связи от точки А24 откладываем отрезок | А24А4 | = | А12А1 |. Полученная точка А4 является проекцией точки А на плоскость П4. В новой системе плоскостей проекций П24 положение точки А определяется проекциями А2 и А4.

При необходимости выполнить две последовательные замены плоскостей проекций преобразование выполняется так, как показано на рисунке 1.5.3.2.4.

Описание: prk3_4.jpg

Рисунок 1.5.2.4

При решении задач с применением способа замены плоскостей проекций удобнее исходный комплексный чертеж задавать в осной системе изображения. Если же исходный чертеж выполнен в безосной системе, то можно зафиксировать плоскости проекций П1 и П2 в каком-либо удобном положении. Эта пространственная операция отражается на комплексном чертеже проведением оси проекций между горизонтальной и фронтальной проекциями объекта.

1.5.3 - МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Метрическими называются задачи, связанные с измерением расстояний и углов. В них определяются действительные величины и форма геометрических фигур, расстояния между ними и другие характеристики по их метрически искаженным проекциям. Решение метрических задач основано на том, что геометрическая фигура, принадлежащая плоскости, параллельной плоскости проекций, проецируется на нее в конгруэнтную ей фигуру (см. аксиомы параллельного проецирования). Поэтому при решении метрических задач широко используются способы преобразования комплексного чертежа.

Рассмотрим задачи на определение действительных величин плоских геометрических фигур и углов между ними.

Общей схемой решения задач этой группы является приведение заданной плоской фигуры или плоскости угла в положение, параллельное одной из плоскостей проекций.

При выборе способа преобразования комплексного чертежа следует стремиться к простоте графических операций, их четкости и наименьшему количеству. В этом смысле способ вращения вокруг линии уровня является наиболее целесообразным для решения большинства задач данной группы, так как дает решение путем одного преобразования комплексного чертежа.

Пример: Определение действительной величины плоской фигуры. Решение задачи дано на рисунке 1.5.3.1.

Описание: prk3_10.jpg

Рисунок 1.5.3.1

 

наверх


назад | содержание | вперёд