Инженерная и компьютерная графика |
Конспект лекций |
назад | содержание | вперёд |
1.2.1 - ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ
В математике под поверхностью подразумевается непрерывное множество точек, если между координатами точек этого множества может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида F(x, y, z)=0.
Понятие поверхности в начертательной геометрии связано с представлением о кинематическом способе ее образования:
Поверхность – непрерывное двупараметрическое множество последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону.
Рисунок 1.2.1 – Образование поверхности
Подвижная линия называется образующей; неподвижная, задающая направление перемещения, – направляющей. На рисунке 1.2.1 изображена некоторая поверхность с образующей L и направляющей m.
Эти линии можно поменять по смыслу, тогда суть и форма поверхности не изменится.
1.2.2 - ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ
Рассмотрим понятие определитель поверхности. Для задания поверхности на чертеже выбирают такую совокупность независимых геометрических условий, которая однозначно определяет данную поверхность в пространстве. Эта совокупность и называется определителем. Обозначим определитель буквой G. Формула определителя выглядит так:
G = { Г х А } (1.1)
Где:
Г – геометрическая часть;
А – алгоритмическая часть.
Геометрическая часть определяет форму образующей, направляющей. Алгоритмическая – закон перемещения образующей.
Определитель часто задают словесно.
Одна и та же поверхность может быть образована различными способами а, следовательно, иметь несколько определителей.
1.2.3 - КРАТКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В основу классификации поверхностей положен определитель. Поверхности принадлежат к одному классу, если имеют единую структурную форму определителя и одинаковое значение его геометрической части.
Краткая классификация поверхностей может быть представлена так:
· по форме образующей – линейчатые (образующая – прямая линия) и нелинейчатые (образующая – кривая линия);
· по возможности развертывания – развертывающиеся и неразвертывающиеся.
К развертывающимся относятся поверхности, которые можно совместить с плоскостью без складок и разрывов. Примеры: все линейчатые (цилиндр, конус, многогранники, торсовые поверхности). Остальные поверхности – неразвертывающиеся. Для них можно выполнить только приближенную развертку. Примеры: все нелинейчатые (семейство торов, в том числе сфера; параболоид, эллипсоид и другие).
Нелинейчатые поверхности могут быть с образующей постоянной или переменной формы (каналовые и каркасные поверхности).
1.2.4 - ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ, ЛИНИИ – ПОВЕРХНОСТИ
Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии данной поверхности.
Линия – совокупность точек. Прямая принадлежит поверхности, если две ее точки принадлежат данной поверхности. Если линия – кривая, то ее принадлежность данной поверхности определяется достаточным количеством принадлежащих точек.
Примеры построения точек на поверхностях приведены на рисунках 1.2.4.1 – 1.2.4.3 и 1.2.4.5 – 1.2.4.7
Изображены следующие поверхности: рисунок 1.2.4.1 – конус; рисунок 1.2.4.2 – прямой круговой цилиндр; рисунок 1.2.4.3 – пирамида; рисунок 1.2.4.5 – сфера; рисунок 1.2.4.6 – открытый тор; рисунок 1.2.4.7 – тор закрытый.
· Гранные поверхности
Гранные поверхности образуются в результате перемещения прямой образующей по ломаной направляющей, у которой звенья – прямые линии. К гранным следует отнести призму, пирамиду, а так же другие многогранники (октаэдр, додекаэдр и другие).
Элементы гранной поверхности: ребро, грань, вершина.
· Поверхности вращения
В конструкциях техники связи получили распространение поверхности вращения. Простейшие примеры: параболическая антенна, контактные узлы и другие.
Поверхности вращения образуются вращением прямой или кривой образующей вокруг неподвижной оси.
На рисунке 1.2.4.4 изображена поверхность вращения общего типа с кривой образующей.
Ось поверхности – прямая, вокруг которой происходит вращение образующей.
Параллель – окружность, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси поверхности. Горло – параллель с наименьшим диаметром, экватор – с наибольшим.
Меридиан – контур, полученный плоскостью, проходящей через ось поверхности.
Контур – линия, по которой проецирующие лучи касаются поверхности при ее проецировании на плоскость.
Очерк – проекция контура поверхности на плоскость.
Конус прямой круговой. Конус образуется вращением прямой линии вокруг оси. При этом образующая имеет с осью одну общую точку, которая называется вершиной. Определитель конуса можно записать:
G = {(L, m, S) (A)} (1.2)
Где:
L – образующая
m – направляющая – окружность
S – точка пересечения образующей с осью поверхности (вершина)
А – алгоритмическая часть определителя, задающая вращательный характер движения образующей.
Ортогональные проекции конуса, способы построения проекций точек, лежащих на его поверхности, приведены на рисунке 1.2.4.1.
Цилиндр прямой круговой. Цилиндр образуется вращением прямой образующей вокруг оси. При этом образующая параллельна оси
поверхности. Определитель цилиндра вращения:
G = {(L, m) (A)} (1.3)
Где:
L – образующая
m – направляющая (окружность)
A – алгоритмическая часть определителя, задающая вращательный характер движения образующей.
Ортогональные проекции цилиндра, способы построения точек, лежащих на его поверхности, приведены на рисунке 1.2.4.2.
Тор - поверхность, образованная вращением окружности или ее части (дуги) вокруг неподвижной оси.
Различают: тор открытый, закрытый и сферу. Тип тора зависит от соотношения радиуса вращающейся окружности R и расстояния центра окружности О от оси поверхности. Обозначим это расстояние буквой t .
Если t > R - тор открытый,
t < R - тор закрытый,
t = R - сфера.
Ортогональные проекции семейства торов, способы построения проекций точек, лежащих на поверхности, приведены на рисунке 1.2.4.5 – сфера, 1.2.4.6 – открытый тор, 1.2.4.7 – тор закрытый.
Рисунок 1.2.4.1 – Пример построения точек на поверхности конуса
Рисунок 1.2.4.2 – Пример построения точек на поверхности прямого кругового цилиндра
Рисунок 1.2.4.3 – Пример построения точек на поверхности пирамиды
Рисунок 1.2.4.4 – Определители поверхности вращения
Рисунок 1.2.4.5 – Пример построения точек на поверхности сферы
Рисунок 1.2.4.6 – Пример построения точек на поверхности открытого тора
Рисунок 1.2.4.7 – Пример построения точек на поверхности закрытого тора
1.2.5 - ПЛОСКОСТЬ КАК ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ПОВЕРХНОСТИ
Плоскость рассматривается как частный случай поверхности, когда образующая и направляющая – прямые линии.
При изучении плоскости рассматривают способы задания плоскости на чертеже, положение плоскости в пространстве относительно плоскостей проекций, точку и линию в плоскости.
Плоскость в пространстве может занимать общее или частное положение.
Плоскость общего положения не параллельна ни одной из плоскостей проекций.
Плоскость частного положения может быть проецирующей либо плоскостью уровня.
Проецирующая плоскость перпендикулярна какой-либо одной плоскости проекций, а к другим наклонна. Названия проецирующих плоскостей:
· Горизонтально проецирующая – плоскость R
· Фронтально проецирующая – плоскость S
· Профильно проецирующая – плоскость T
Главными проекциями таких плоскостей являются соответственно горизонтальная, фронтальная и профильная, представляющие собой прямые линии.
Плоскость уровня параллельна какой-либо одной плоскости проекций. В название плоскости уровня входит «имя» соответствующей плоскости проекций. Названия плоскостей уровня:
· плоскость фронтального уровня – Ф
· плоскость горизонтального уровня – Г
· плоскость профильного уровня – Р
Плоскость можно задать различными способами:
· тремя точками, не лежащими на одной прямой;
· прямой и точкой, не лежащей на этой прямой;
· двумя параллельными прямыми;
· двумя пересекающимися прямыми;
· плоской фигурой;
· главной проекцией (для плоскостей частного положения), следами.
Следом плоскости называется линия пересечения некоторой плоскости с плоскостью проекций.
1.2.6 - ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
Задачи, в которых определяется относительное положение или общие элементы геометрических фигур, называются позиционными. К ним относятся задачи на принадлежность точки и линии поверхности, задачи, выражающие отношения между геометрическими фигурами, задачи на определение общих элементов геометрических фигур.
Геометрические образы пространства и их обозначения:
Точка - заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, D, E, F, …
Прямая - строчными буквами латинского алфавита: а, b, c, d, e, f, …
Поверхность - прописными и строчными буквами латинского или греческого алфавита: P, Q, R, S, T; П (пи), Ф (фи), Г (гамма) …
назад | содержание | вперёд