5

Справочник по высшей математике

Тема 5. Введение в анализ | назад | оглавление | вперёд

5.3. Теория пределов

Пределом функции при называется число b, если для любого (e -сколь угодно малое положительное число) можно найти такое значение аргумента , начиная с которого выполняется неравенство .

Обозначение: .

Пределом функции при называется число b, если для любого (e -сколь угодно малое положительное число) существует такое положительное число d , что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Обозначение: .

Формула для вычисления предела элементарной функции в точке , где : .

Бесконечно малая величина при есть функция такая, что .

Бесконечно большая величина при есть функция такая, что .

Первый замечательный предел: .

Следствия: ; ;

Второй замечательный предел: , где e=2,71828…

Следствия: ; ; ; .

Эквивалентные бесконечно малые величины при :

x ~ sinx ~ tgx ~ arcsinx ~ arctgx ~ ex-1 ~ ln(1+x).

Виды неопределенностей:

Символическое обозначение | Содержание неопределенности | Пределы компонент при x ® a
|  | a 1(x) ® 0 a 2(x) ® 0
|  | b 1(x) ® ¥ b 2(x) ® ¥
|  | a (x) ® 0 b (x) ® ¥
|  | b 1(x) ® ¥ b 2(x) ® ¥
|  | g (x) ® 1 b (x) ® ¥
|  | a 1(x) ® 0 a 2(x) ® 0
|  | a (x) ® 0 b (x) ® ¥

5.4. Непрерывность функции

Функция непрерывна в точке , где , если предел функции при стремлении аргумента к a, существует и равен значению функции в этой точке.

Эквивалентные условия:

1. ;
2. , где ;
3. ;
4. .

Классификация точек разрыва:

разрыв I рода:

- устранимый – односторонние пределы существуют и равны;

- неустранимый (скачок) – односторонние пределы не равны;

разрыв II рода: предел функции в точке не существует.

назад | оглавление | вперёд