5

Математический анализ

Тема 1. Введение в анализ.Теория пределов. | назад | оглавление | вперёд

1.2. ФУНКЦИЯ, СПОСОБЫ ЕЁ ЗАДАНИЯ, ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА.

Основные обозначения:

N – натуральные числа,

Q – рациональные(дробные),

Z – целые числа,

R – действительные числа;

Счетное множество – это множество, элементы которого можно пересчитать.

– счетные и имеют одинаковую мощность

R – несчетное множество.

Множество действительных чисел всюду плотно на числовой оси.

[a, b] – замкнутый интервал, (a, b) – открытый интервал

Окр [x0] – окрестность точки x0 , любой открытый интервал, содержащий x0.

Окр [x0] = (a, b), где (a, b) содержит x0 – это окрестность.

ax0 = x0b, – окрестность x0

Кванторы

1) – кванты всеобщности;

2) – кванты существования.

|x – x0| – расстояние от точки x до точки x0

Числовой функцией называется соответствие между числовыми множествами XY, при котором каждому значению x соответствует (сопоставлено) некоторое значение y.

У каждого прообраза всегда один образ, у каждого образа может быть много прообразов.

Взаимнооднозначная функция – это когда разные x имеют разные y.

Способы задания функций:

а) аналитический;

б) графический;

в) табличный;

г) алгоритмический.

Функции делятся на 2 класса

1. Элементарные

2. Неэлементарные (специальные).

Элементарные функции изучаются в школьной математике и делятся на:

1. Основные элементарные функции

а) степенные y = xn

б) показательные y = ax

в) тригонометрические y = sin x и другие.

2. Элементарные, полученные из основных с помощью арифметических операций и операции получения сложной функции (операции композиции).

   f

   X Y

   f -1 (обратная функция)

   Обратные к показательным функциям – логарифмические функции. Обратные к тригонометрическим

   Пример:

   y = f (g(x)) – сложная функция – композиция элементарных функций.

Элементарными функциями называются функции, полученные из элементарных базисных функций с помощью алгебраических операций и операций композиции.

Г(f) – график функции. График функции есть множество точек (x, y), где y = f(x).

Общие свойства функций:

1. Четность –

2. Нечетность –

3. Периодичность –

Рисунок

f(x) – ограниченная сверху, если

f(x) – ограниченная снизу, если

f(x) – ограниченная, если

f(x) – монотонная, если она постоянно возрастает или постоянно убывает

Если y = f(x), то Д – область определения данной функции.

Свойства модулей суммы и разности:

назад | оглавление | вперёд