Основные теоремы дифференциального исчисления

Математический анализ

Тема 2. Дифференциальное исчисление. | назад | оглавление | вперёд

2.4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.

Теорема Ролля, теорема о корнях производных.

Доказательство:

Пусть гладкая на , .

Тогда :

Любая гладкая функция, имеющая на концах отрезка одинаковые значения имеет, внутри этого отрезка, хотя бы один корень производной.

при

при

Теорема Коши о среднем.

Доказательство:

Пусть - гладкие на .

на

Тогда : , где .

F – гладкая на отрезке . По теореме Ролля : .

по условию, а так как иначе по теореме Ролля , что противоречит условию.

Теорема Логранжа. Теорема о конечных приращениях.

Доказательство:

Пусть гладкая на,

Тогда : .

Пусть :

Геометрический смысл:

Для любой гладкой на замкнутом отрезке кривой найдется точка, в которой касательная параллельна хорде AB.

Правило Лопиталя (теорема Вернули – Лопиталя).

Пусть и гладкие в окрестности и

Тогда

Правило Лопиталя: Предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Доказательство:

Применим теорему для и , , где а - точка в окрестности .

где .

Примеры:

1)

2)

3)

назад | оглавление | вперёд