3

Справочник по высшей математике

Тема 3. Аналитическая геометрия | назад | оглавление | вперёд

3.1. Линейные образы

3.1.1. Прямая на плоскости

Виды уравнений

Уравнение | Наименование | Параметры

общее уравнение прямой на плоскости

n=(A,B) - нормальный вектор прямой;

,, - координаты фиксированных точек на прямой;

k - угловой коэффициент прямой;

a - отрезок, отсекаемый прямой на оси х;

b - отрезок, отсекаемый прямой на оси y;

q=(l,m) - направляющий вектор прямой

| уравнение прямой, проходящей через данную точку
| уравнение прямой с данным угловым коэффициентом
| уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом
| уравнение прямой, проходящей через две точки
| уравнение прямой в отрезках
| каноническое уравнение прямой

Формулы для вычисления угла между двумя прямыми на плоскости:

; ,

где и -нормальный и направляющий векторы первой прямой;

и - нормальный и направляющий векторы второй прямой.

Условия параллельности двух прямых на плоскости:

1. ;
2. ;
3. , где и - угловые коэффициенты прямых.

Условия перпендикулярности двух прямых на плоскости:

1. n1 n2 n1 n2=0 или A1A2+B1B2=0;
2. q1 q2 q1 q2=0 или l1l2+m1m2=0;

3.1.2. Плоскость в пространстве

Виды уравнений

Уравнение | Наименование | Параметры
| общее уравнение плоскости в пространстве | - нормальный вектор плоскости; - координаты фиксированных точек на плоскости; a,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат; - направляющие косинусы нормального вектора плоскости; p - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость
| уравнение плоскости, проходящей через три точки
| уравнение плоскости в отрезках
| нормальное уравнение плоскости

Выражение направляющих косинусов через координаты нормального вектора:

.

Формулы для вычисления угла между двумя плоскостями:

;

где и -нормальные векторы плоскостей.

Условие параллельности двух плоскостей:

.

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

n1 n2 n1 n2=0 или A1A2+B1B2+С1С2=0.

3.1.3. Прямая в пространстве

Виды уравнений

Уравнение | Наименование | Параметры

общие уравнения прямой в пространстве

и
- нормальные векторы плоскостей;

- направляющий вектор прямой;

,
,
- координаты фиксированных точек на прямой

| канонические уравнения прямой в пространстве
| параметрические уравнения прямой в пространстве
| уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки

Формулы для вычисления угла между двумя прямыми в пространстве:

,

где и - направляющие векторы прямых.

Условие параллельности двух прямых в пространстве:

.

Условие ортогональности двух прямых в пространстве:

q1 q2 q1 q2=0 или l1l2+m1m2+n1n2=0.

назад | оглавление | вперёд