Справочник по школьной математике

Математика

Справочник по школьной математике | назад

1. ЧИСЛА, ДРОБИ, МОДУЛИ

Множества:

Æ - пустое множество

N = {1, 2, 3, …} - множество натуральных чисел

Z = - множество целых чисел

Q = - множество рациональных чисел (дробей)

R – множество вещественных (действительных) чисел

Арифметические операции с дробями:

, ; ; ; ; ; ;

Пропорция: ;

Модуль числа:

Определение: ;

Свойства модуля:

; ; ; ; ;

;

2. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

;

;

;

;

;

;

;

3. СТЕПЕНИ И КОРНИ

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Показательные неравенства:

.

4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

; .

Корни уравнения: , где - дискриминант.

Формулы Виета: ; ,

где x1 и x2 – корни квадратного уравнения.

Разложение квадратного трехчлена на множители:

.

Приведенное уравнение: ; .

Квадратное неравенство:

если D>0 , a>0, , то

- “решение за корнями”

- “решение между корнями”,

где - корни квадратного трехчлена.

5. ПРОГРЕССИИ

Арифметическая прогрессия:

Общий член: , , где - разность прогрессии;

Частичная сумма: .

Геометрическая прогрессия:

Общий член: , где - знаменатель прогрессии;

Частичная сумма: .

Сумма бесконечно-убывающей геометрической прогрессии (при ): .

Некоторые суммы:

; ;

;

; ;

6. ЛОГАРИФМЫ

Логарифм числа по основанию :

.

Основное логарифмическое тождество: .

Свойства логарифмов:

; ;

; ; .

Десятичные логарифмы : .

Натуральные логарифмы : .

Логарифмическое неравенство:

.

7. ТРИГОНОМЕТРИЯ

7.1. Основные соотношения

; ; ;

; ; ;

; .

7.2. Перевод из радианной меры углов в градусную и обратно:

; ;

7.3. Основные значения тригонометрических функций

7.4. Знаки тригонометрических функций

7.5. Формулы сложения

;

;

;

;

; ;

; ;

7.6. Формулы двойных углов

;

;

; ;

7.7. Формулы тройных углов

; ;

; ;

7.8. Формулы половинных углов

; ;

; ;

;

Универсальная тригонометрическая подстановка, используемая для решения тригонометрических уравнений:

; ; ; ;

7.9. Формулы приведения

7.10. Формулы преобразования суммы и разности

;

;

;

;

, где ;

; ;

; .

7.11. Формулы преобразования произведения

;

;

.

7.12. Обратные тригонометрические функции

;

;

;

.

7.13. Простейшие тригонометрические уравнения

1) ; ; .

Частные случаи: ; ;

; ;

; .

2) ; ; .

Частные случаи: ; ;

; ;

; .

3) , ; .

4) ; ; .

8. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

8.1. Таблица основных элементарных функций

| Название | Формула | Частные случаи
1 | Постоянная |  |
2 | Степенная функция |  | ; ; ; ;
3 | Показательная функция |  |
4 | Логарифмическая функция |  | ;
5 | Тригонометрические функции | ; ; ; . |
6 | Обратные тригонометрические функции | ; ; ; |

8.2. Графики основных элементарных функций

Парабола | Гипербола
График показательной функции | График логарифмической фунгкции
Синусоида и косинусоида

9. ПЛАНИМЕТРИЯ

1. Треугольник

Обозначения:

вершины: A, B, C;

стороны: a, b, c;

внутренние углы: a , b , g ;

полупериметр: ,

радиус вписанной окружности: r, радиус описанной окружности: R,

площадь: S.

9.1.1. Основные величины и соотношения

Неравенства треугольника: .

Сумма внутренних углов треугольника: ;

теорема проекций: ;

теорема синусов: ;

теорема косинусов: ;

9.1.2. Замечательные точки и линии в треугольнике

Точка пересечения медиан треугольника– центр тяжести.

Точка пересечения высот – ортоцентр.

Точка пересечения биссектрисс – центр вписанной окружности.

Точка пересечения серединных перпендикуляров – центр описанной окружности.

Медианы, проведенные из

вершин A, B, C соответственно: ma, mb, mc

.

Разбиение треугольника медианами:

;

;

.

Высоты, проведенные из

вершин A, B, C соответственно: ha, hb, hc

;

.

Биссектрисы, проведенные из

вершин A, B, C соответственно: la, lb , lc

.

Свойство биссектрисы треугольника:

.

9.1.3. Формулы площади треугольника

; ;

; ;

Формула Герона: .

9.1.4. Прямоугольный треугольник

Катеты: a, b; гипотенуза: c.

Теорема Пифагора: .

Соотношения между элементами:

; ;

;

; ;

;

или ,

где CD =hc - высота, опущенная на гипотенузу, .

Подобия в прямоугольном треугольнике:

: : ;

: : ;

: : .

9.1.5. Правильный треугольник

p=3a/2;

;

;

; .

9.2. Четырехугольники

Обозначения:

S – площадь, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, d – диагональ.

9.2.1. Квадрат

S=a2;

.

9.2.2. Прямоугольник

p=a+b (p - полупериметр)

S=ab

9.2.3. Параллелограмм

p=a+b (p - полупериметр)

9.2.4. Ромб

9.2.6. Трапеция

Свойства трапеции:

1. Во всякой трапеции середины оснований К,

М лежат на прямой, проходящей через точку

пересечения диагоналей О и точку пересечения

продолжений боковых сторон.

2. Средняя линия трапеции параллельна

основаниям и равна их полусумме.

.

9.3. Окружность и круг.

Длина окружности:;

длина дуги окружности:

; ;

(n - величина дуги в градусах, j - величина дуги в радианах).

Площадь круга: ;

площадь кольца: ;

площадь сектора: ,

где a - величина дуги в градусах.

Свойства окружности:

1) касательная и радиус, проведенный в точку касания,

перпендикулярны: r ^ l.

2) отрезки касательных, проведенные

к окружности из точки, лежащей вне ее,

равны: AB = AC

3) диаметр, перпендикулярный хорде,

делит ее пополам;

диаметр, проходящий через середину хорды,

перпендикулярен ей:

4) квадрат длины касательной равен

произведению длины секущей

на ее внешнюю часть:

AB2 = .

5) центры касающихся окружностей О1, О2

и точка их касания М лежат на одной прямой.

6) в четырехугольник можно вписать окружность

тогда и только тогда, когда

суммы длин противоположных сторон равны:

AD + BC = AB + CD.

7) около четырехугольника можно описать окружность

тогда и только тогда, когда

сумма противоположных углов равна 1800:

.

- из всех параллелограммов только около прямоугольника

можно описать окружность;

- около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая;

8) центральный угол измеряется

градусной мерой дуги, на которую он опирается:

9) величина вписанного угла в два раза меньше

центрального угла, опирающегося на эту же дугу:

10) вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же

дугу, имеют одинаковую величину:

10. СТЕРЕОМЕТРИЯ

10.1. Куб

Объем:

Площадь поверхности:

10.2. Параллелепипед

Объем: ,

где S осн - площадь основания, h – высота.

Прямоугольный параллелепипед

Объем: V = abc.

Площадь поверхности:

S = 2(ab + bc + ac);

d2 = a2 + b2 + c2 ,

где d - диагональ.

10.3. Пирамида

Объем: .

10.4. Усеченная пирамида

Объем: ,

где S1, S2 – площади оснований.

10.5. Цилиндр

Объем: .

Площадь боковой поверхности: .

Площадь полной поверхности: .

10.6. Конус

Объем: .

Площадь полной поверхности: .

10.7. Усеченный конус

Объем: .

Площадь полной поверхности:

.

10.8. Сфера и шар

Объём шара: ,

где R – радиус сферы (шара).

Площадь сферы: .

ЛИТЕРАТУРА

1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: 1981.- 720 с.

2. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М.:Наука, 1982.- 335 с.
3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1982.- 832 с.
4. Математический энциклопедический словарь. М., Большая российская энциклопедия, 1995.- 847 с.

назад