1

Справочник по высшей математике

Тема 1. Линейная алгебра | оглавление | вперёд

1.1. Определители (детерминанты)

Обозначения определителя матрицы А: D , det A, .

Определитель второго порядка: .

Определитель третьего порядка:

Разложение определителя n-го порядка по i-й строке:

Разложение определителя n-го порядка по j-ому столбцу:

-алгебраическое дополнение элемента , ,

-минор элемента , т.е. определитель, получаемый из исходного определителя вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.

1.2. Матрицы

Матрица размерами n x m (n строк и m столбцов): | , где ; .

Равенство матриц: , если эти матрицы одного размера и .

Квадратная матрица порядка n: .

Сложение матриц: , где .

Свойства сложения матриц:

1) ассоциативность: ;

2) коммутативность: ;

Умножение матрицы на число: .

Умножение матриц: .

Свойства умножения матриц:

1. ассоциативность: ;
2. некоммутативность.
3. определитель произведения квадратных матриц: .

Транспонирование матрицы: .

Свойство транспонирования произведения матриц: .

Невырожденная (неособая) матрица: .

Обратная матрица для невырожденной матрицы A: .

Свойства обратной матрицы:

1) ;

2) .

Виды матриц:

единичная матрица:

симметрическая матрица:

ортогональная матрица: A - невырождена и

кососимметрическая матрица: ;

матрица-строка:

матрица-столбец: .

Ранг матрицы - наибольший порядок её ненулевого минора или наибольшее число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

1.3. Системы линейных уравнений

| - неизвестные; aij –коэффициент в i-ом уравнении при j-ом неизвестном; - свободные члены.

Матричный вид: , - матрица системы,

| - столбец неизвестных, |  | - столбец свободных членов.

Совместность системы: , где - расширенная матрица системы (теорема Кронекера-Капелли).

Формулы Крамера (n=m): ,

- определитель матрицы системы;

-определитель, полученный при замене i-го столбца матрица A на столбец В.

Однородная система (B=0):

| Если , то система имеет только нулевое решение . Если , то существуют ненулевые решения.

оглавление | вперёд