7

Математический анализ

Тема 3. Интегральное исчисление | назад | оглавление | вперёд

3.3. Основные методы интегрирования

Замена переменных под знаком неопределенного интеграла.

Интегрирование по частям.

Доказательство:

(формула дифференцирования произведения).

(интегрируем обе части равенства)

(использование основного тождества)

(что и требовалось доказать).

Пример:

1) (замена переменной)

2) (интегрирование по частям)

Дополнительный материал

Интегрирование рациональных дробей. Простейшие дроби и их интегрирование.

Все коэффициенты действительные числа.

m , n – целые числа.

Нет общих корней.

Если , то дробь называется неправильной, если , то дробь называется правильной.

Если дробь неправильная, то , где - правильная дробь; - многочлен.

Простейшие дроби:

1.

2. , и целое число.

3. ( в знаменателе неприводимый квадратный трехчлен).

4. , и целое число.

=
= =
= =
=

Разложить рациональные дроби на простейшие.

Теорема. Если х = а – корень знаменателя f(x) кратности k , то

Доказательство:

; (1)

Будем подбирать А так, чтобы По теореме Безу это возможно, если

Тогда

Подставим в (1)

Следствие:

Теорема. Если ( - неприводимый ква дратный трехчлен. ), то

Доказательство:

Подберем M и N так, чтобы числитель делился на Y :
- по теореме Безу.

M и N можно найти из этой системы всегда.

Следствие: всякая правильная рациональная дробь может быть разложена в сумму простейших дробей.

Пример:

Метод неопределенных коэффициентов.

Правую часть равенства (2) надо привести к общему знаменателю и приравнять в числители коэффициенты при одинаковых степенях F(x). Решая полученную систему уравне ний можно определить все коэффициенты.

Интегрирование рациональных дробей.

1. Выделить целую часть дроби.
2. Разложить знаменатель на множители.
3. Представить в виде суммы простейших дробей.
4. Найти неопределенные коэффициенты.
5. Интегрировать каждую простейшую дробь.

Интегрирование иррациональных функций

5.1.

k – общий знаменатель дробей

- рационализирующая подстановка.

Пример:

5.2.

k – общий знаменатель дробей

Пример:

5.3. Тригонометрические подстановки.

Пример:

- обратные гиперболические функции.

назад | оглавление | вперёд