Выпуклость и вогнутость

Математический анализ

Тема 2. Дифференциальное исчисление. | назад | оглавление | вперёд

2. 7. ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ФУНКЦИИ.

Если в окрестности точки, график функции ниже касательной, то в окрестности этой точки график функции выпуклый.

Если в окрестности точки, график функции выше касательной, то в окрестности этой точки график функции вогнутый.

Теорема. В точке выпуклости 2-ая производная меньше 0. В точке вогнутости вторая производная больше 0.

Доказательство:

Если прямая проходит через точку

Применим теорему Логранжа:

Поставим “-“ в , учитывая, что , тогда должна быть <0.

Второй раз применим теорему Логранжа:

Для вогнутости поставим “+”

должно быть >

Точка, в которой вторая производная равна нулю, называется точкой перегиба.

y |  | п |  | п |
| + | 0 | - | 0 | +

назад | оглавление | вперёд