5

Математический анализ

Тема 1. Введение в анализ.Теория пределов. | назад | оглавление | вперёд

1.3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ

Число b называется пределом функции в точке а, если для любой – окрестности точки b существует – окрестность точки а.

– предел функции при , равный b.

Число b называется пределом функции при неограниченном возрастании аргумента . Для любого существует такое N, и если , то .

Примеры:

y = f(x) =

y = f(x) = x2

Пример:

y =, когда ,

Неопределенности:

Раскрытие неопределенностей.

Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.

Если функция f(x) имеет предел в точке a ,то она ограниченна в некоторой окрестности точки a.

Доказательство:

Пусть , тогда , отсюда получаем . Обратное неверно.

Контрольный пример:

в окрестности точки 0.

– не существует.

Бесконечно малой величиной при называется функция, предел которой в точке a равен 0.

– бесконечно малая величина (б.м.в.).

1. – бесконечно малая величина при

2. – бесконечно малая величина при s

Бесконечно большой величиной при называется функция неограниченно возрастающая.

– бесконечно большая величина (б.б.в.)

Любая бесконечно большая величина неограниченна.

Теорема о связи предела и бесконечно малой величины.

Если , то , где – бесконечно малая величина. Или .

Доказательство:

Допустим, что , тогда .

, значит , – бесконечно малая величина.

Пример:

f(x) = x2 + 1

Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой величиной.

Если – бесконечно малая величина при – бесконечно большая величина.

Если – бесконечно большая величина при – бесконечно малая величина.

Доказательство:

Допустим, что – бесконечно малая величина при , то , что . Значит

Следствие: и

Свойства бесконечно малых величин:

1) Алгебраическая сумма бесконечно малых величин есть бесконечно малая:

Доказательство:

или , значит – бесконечно малая величина.

2) Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть бесконечно малая: , где f(x) – ограниченная.

Доказательство:

, значит – бесконечно малая величина.

3) Частное от деления бесконечно малой величины на любую функцию, предел которой не равен 0, есть бесконечно малая: при и .

Теоремы о пределах.

Теорема 1. Предел суммы равен сумме пределов, если они существуют:

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем

Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов, если они существуют:

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем

Теорема 3. Предел частного равен частному пределов: . При условии: все пределы существуют и .

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

;

Получаем:

Теорема 4. Предел сохраняет знак неравенства. Если .

Доказательство:

Следовательно,

Следствие:

Теорема 5. Если функция ограниченна и монотонна на (a, b), то она имеет предел:

Теорема 6. Критерий Коши.

Если , тогда и только тогда .

Приемы раскрытия неопределенностей.

1) Выделение общего множителя (для неопределенности ).

Пример:

2) Умножение на сопряженное выражение (для неопределенности ).

Пример:

3) Выделение главной части (для неопределенности ).

Примеры:

;

Теорема. Первый замечательный предел .

Доказательство (геометрическое):

Так как , то .

Следствия из теоремы:

1)

2)

3)

4)

5)

Теорема. Второй замечательный предел .

Доказательство:

Бином Ньютона:

, где .

Используем бином Ньютона для доказательства неравенства:

Отсюда заключаем, что , а значит .

Следствия из теоремы:

1)

2)

3)

4)

Доказательство:

Если принять, что , то

Примеры:

1)

Учитывая, что .

2)

. Отсюда A = e.

Учитывая, что .

Сравнение бесконечно малых величин (б.м.в.):

Пусть – бесконечно малые величины при , т.е. .

Определение 1. Если , то – б.м.в. одного порядка малости.

Определение 2. Если , то – б.м.в. более высокого порядка, чем .

– более высокого порядка, чем ("о" – читается как "о малое").

– более низкого порядка, чем ("О" – читается как "О большое").

Определение 3. Если , то и эквивалентны – .

Следствие из определения 3: при .

Теорема. Если и эквивалентны () , то и .

Доказательство:

Пусть – бесконечно малые величины при и они эквивалентны ().

Тогда .

назад | оглавление | вперёд