Высшая математика

Методические указания | назад

Задача 1.

Теоретическое введение

Функцией переменной величины , называется величина такая, что каждому значению , принадлежащей некоторой области , соответствует единственное значение величины .

Обозначение: .

– область определения функции, – аргумент.

– область изменения функции, – значение;

Функия может быть задана аналитически, таблично, графически.

Основными элементарными функциями являются:

1. степенные (, где – произвольное число)

2. показательные (, , )

3. логарифмические (,, )

4. тригонометрические (, , , )

5. обратные тригонометрические (,,, )

Композиция (суперпозиция) двух функций и есть функция, в которой аргументом одной из данных функции, является значение другой функции. Обозначение: и .

Сложная функция есть композиция двух и более функций.

Элементарная функция есть функция, полученная из основных элементарных функций с помощью арифметических действии и композиции.

Целью математического анализа является изучение различных функций, их свойств, и операций связанных с функциями.

Функция называется четной, если для всех своих аргументов.

Функция называется нечетной, если для всех своих аргументов.

Число называется пределом функции при , стремящемся к и обознается , если при неограниченном приближении к , неограниченно приближается .

Свойства пределов:

1. Передел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций, если они существуют:

2. Предел произведения функции равен произведению пределов, если они существуют:

3. Предел частного двух функций равен частному пределов, если они существуют, и предел знаменателя не равен нулю: , при

.

Обычно , например:

Однако, иногда значение не входит в область определения функции . В этом случае имеются различные методы вычисления пределов:

Выделение общего множителя

Выделение главной части

Использование замечательных пределов

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Задача 2.

Теоретическое введение

Производная или от данной функции есть предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: или

Механический смысл производной – скорость изменения функции.

Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к графику функции:

Правила дифференцирования:

1. Производная постоянной величины равна 0.

2. Производная суммы равна сумме производных.

3. Производная произведения:

4. Производная частного:

Производная сложной функции:

Производная от сложной функции по независимому аргументу равна производной от по промежуточному аргументу , умноженной на его производною по независимой переменной .

Примеры:

1. ;

2. ;

3. ;

Методика решения задачи 3 (исследование функции) см. примеры из конспекта лекций.

Задача 4.

Найти неопределенные интегралы:

а) ;

Решение: введем переменную . Тогда

; . Сделаем замену:

.

б) ;

Решение: используем метод интегрирования по частям:

.

Обозначим: . Тогда .

Задача 5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

и .

Решение:

Найдем точки пересечения графиков данных функций. Для этого приравняем функции и решим уравнение

Итак, точки пересечения и .

Площадь фигуры найдем, используя формулу

.

В нашем случае

Ответ: площадь равна (квадратных единиц).

назад