КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
 ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ

Содержание

1. Общие положения
2. Методические указания к изучению дисциплины
3. Методические указания к выполнению
Комментарии к задаче №1
§1. Случайные события. основные понятия
§2. Случайные события. операции
§3. Классическое определение вероятности
§ 4. Примеры задач на классическую вероятностную схему
§5. О статистической и геометрической вероятностях
§6. Простейшие свойства вероятностей
§7. Условные вероятности. независимость событий
§8. Вероятность наступления хотя бы одного события
§9. Формула полной вероятности
§10. Формула Байеса
Комментарии к задаче №2
§11. Повторные независимые испытания
§12. Другие формулы вычисления вероятностей для схемы Бернулли
Комментарии к задаче №3
§13. Случайные величины дискретного типа
§14. Функция распределения
§15. Математическое ожидание случайной величины дискретного типа
§16. Дисперсия случайной величины
§17. Биномиальный и пуассоновский законы распределения
Комментарии к задаче №4
§18. Случайные величины непрерывного типа
§19. Нормальный закон распределения и его характеристики
§20. Другие законы распределения непрерывных случайных величин
4. Методические указания к выполнению задания №5
5. Контрольные задания №№1-4
Требования к оформлению контрольной работы
Список литературы
Содержание дисциплины
Перечень контрольных вопросов для проверки знаний по дисциплине
Приложения

1. Общие положения

Цель дисциплины "теория вероятностей и математическая статистика" - дать необходимый математический аппарат и привить навыки его использования при решении инженерно-экономических задач. Для этого при изучении курса студенты осваивают методы математического моделирования экономических и иных возникающих на практике ситуаций, вероятностные методы их исследования и решения, методы обработки статистических данных (аналитически и при помощи вычислительной техники), а также методы дальнейшего анализа полученных результатов. Это способствует также развитию логического и алгоритмического мышления.
Теория вероятностей опирается на предшествующие курсы математики, как на курс средней школы, так и на разделы, изучавшиеся на 1 курсе (множества, функции, непрерывность, производные, интегралы, ряды).

2. Методические указания к изучению дисциплины

Изучение дисциплины следует начать с теоретической части данных методических указаний. Поскольку методические указания не являются учебником и теоретический материал здесь изложен кратко, полезно обратиться к учебникам, перечисленным в списке литературы.
Для изучения дисциплины в общепринятом логическом порядке полезно сверяться с Приложением А данного издания.

3. Методические указания к выполнению

Комментарии к задаче №1

§1. Случайные события. основные понятия
Случайным называется событие, которое при осуществлении совокупности некоторых условий S может либо произойти, либо не произойти. Пример: событие А1 - выпадение “шестерки" при одном броске игральной кости (кубика с занумерованными гранями).
Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Пример: событие А2 - при одном броске игральной кости число выпавших очков меньше 7. Обозначим достоверное событие буквой W
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет при осуществлении совокупности событий S. Пример: событие А3 - при одном броске игральной кости число выпавших очков дробно. Невозможное событие обозначим символом Æ.
События W и Æ будем рассматривать как частные (“крайние”) случаи случайных событий, хотя они не являются таковыми.
Два или более событий назовем несовместными, если в результате осуществления условий S (или, по-другому, в результате испытания) невозможно их совместное осуществление, т.е. появление одного из них исключает появление другого в том же испытании. Пример: событие А4 - при броске игральной кости выпало нечетное число очков - несовместно с событием А1 (выпала “шестерка”).

§2. Случайные события. операции
Сумма событий А + В - событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий А и В, т.е. наступило либо А, либо В, либо оба сразу. Пример: для событий А1 и А4 из §1 А1 + А4 = {выпало 1,3,5 или 6 очков}.
Произведение событий А · В  это совместное осуществление и А и В (иначе: их общие исходы). Пусть В = {при броске игральной кости выпало число очков, кратное 3}. Тогда В · А4 = {выпала грань с 3 очками}.
Для несовместных событий А и В их произведение А·В=Æ у них нет общих исходов. В частности, для последнего примера §1 можно записать А1 ·А4 = Æ.
Событие  называется противоположным к А (т.е. состоит в том, что “ достоверное событие Wпроисходит, а событие А не происходит”).
Для операций над событиями выполняются свойства: 

А + В = В + А
А · В = В · А 
 (А + В) + С = А + (В + С) 
 (А · В) · С = А · (В · С) 
 (А + В) · С = А · С + В · С

Если события Н1, Н2,., Нn попарно несовместны (Нi·Hj=Æпри i j), а их сумма  достоверное событие (H1+H2+. +Hn = W), то говорят, что {H1, H2,., Hn}  полная группа несовместных событий или разбиение W. В частности, {A,}  полная группа несовместных событий для любого А.

§3. Классическое определение вероятности
Вероятность события А  это число Р (А), которое вводится для количественного описания степени объективной возможности наступления А.
В этом параграфе рассмотрим испытания, в которых множество W представляет собой конечное число равновозможных исходов. Например, если бросить игральную кость один раз, то она может выпасть на любую из шести граней. Достоверное событие Wздесь состоит в том, что выпала одна из шести граней. Будем считать кубик симметричным; в этом случае можно считать все шесть исходов равновозможными. В случае двух бросков симметричной монеты  4 различных исхода: “орел-орел” (О, О), “орел-решка" (О, Р), а также Р, О и Р, Р; их также считают равновозможными. Все они вместе образуют достоверное событие Wдля данного испытания. В первом случае вероятность каждого из элементарных исходов равна 1/6, а во втором 1/4.
В общем случае, если число всех элементарных исходов N (W) равно n, то вероятность каждого из них 1/n. Пусть число благоприятствующих исходов для А или, иначе, число элементарных исходов испытания, входящих в событие А (N (A)), равно m, тогда вероятность

 (1)

Это формула классической вероятности.
В примерах из §1 шесть элементарных исходов: выпала цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Событие А1 включает в себя ровно 1 элементарный исход, А2 (достоверное)  все 6, А3 (невозможное)  0, А4  3. Поэтому

, ,
, 

Еще примеры. При двух бросках симметричной монеты событие С = {выпал хотя бы один “орел”} включает в себя три элементарных исхода из четырех, поэтому 

.

Событию D = {при трех бросках монеты выпало ровно два ”орла”} благоприятствуют 3 из 8 возможных элементарных исходов, поэтому .

§ 4. Примеры задач на классическую вероятностную схему
1. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на них выпали грани с одинаковым числом очков?
Каждому из шести исходов при броске первой кости соответствует шесть исходов, получающихся при броске второй кости, значит, всего получится 36 элементарных исходов (1-1, 1-2,., 1-6, 2 - 1,., 6 - 6). Искомому событию благоприятствуют 6 исходов из 36 (1-1, 2-2,., 6-6), поэтому вероятность данного события А

.

2. В урне 10 белых и 12 черных шаров, вынимают 3 из них. Какова вероятность того, что среди них ровно 2 черных?
Общее число элементарных исходов  это число способов, которым можно вынуть 3 шара из 22. Оно равно числу сочетаний из 22 элементов по 3.

n = 

(первый шар выбирается 22 способами, после того, как первый выбран, второй  21 способом, а для третьего после выбора первых двух остается 20 вариантов; однако каждый набор из трех шаров мы включили в общее число несколько раз, а именно 3·2·1=6, поэтому разных наборов из 3 шаров в 6 раз меньше, чем 22·21·20).
Общая формула для числа сочетаний из L по k приведена ниже.
Событие А, вероятность которого нужно подсчитать, состоит в том, что вынуты 2 черных и 1 белый шар.2 черных шара из 12-ти можно извлечь

способами (1-й  любой из 12-ти черных, 2-й  любой из 11-ти оставшихся, но каждый набор из двух шаров учтен дважды, поэтому 12·11 делим пополам).1 белый шар из 10-ти можно взять

способами. Таким образом, число благоприятствующих событию А способов равно

m = 

(каждый из 66 наборов из 2 черных шаров и каждый из 10 белых шаров дают устраивающий нас вариант).
Итак,

.

Примечание. Общая формула для числа сочетаний из L по k

,

где .
(подробнее о комбинаторных схемах см. [3-4]).
3. Полный набор домино (28 костей) раздается между четырьмя игроками (по 7). Какова вероятность, что у третьего игрока нет “шестерок”?
Всего игрок может получить n =  различных наборов из 7 костей, составленных из всех 28 костей домино, “шестерка" содержится на 7 “костяшках”, значит, без “шестерок" - 21 кость домино. Из них можно составить m =  всевозможных “семерок” - наборов из 7 костей. Окончательно,

теория вероятность математическая статистика

§5. О статистической и геометрической вероятностях
Относительная частота события А  это отношение числа испытаний, в которых событие фактически появилось (благоприятствующих А) к общему числу проведенных испытаний: 

.

Если классическая вероятность вычисляется до опыта, то относительная частота  после опыта. Конечно, при увеличении количества испытаний в серии на 1 W (A) меняется  хотя бы потому, что на единицу изменяется знаменатель дроби. Тем не менее, с увеличением n величина W (A) приближается к некоторому числу, которое называют статистической вероятностью события А.
Заметим, что когда в задаче говорится, что “вероятность поражения стрелком мишени равна 0,7”, то речь идет о вероятности, вычисленной статистически.
Бывают задачи, когда множества всех элементарных исходов и благоприятствующих исходов невозможно пересчитать. В этих задачах иногда удается выразить вероятность события как отношение либо длин, либо площадей, либо объемов. Например, если считать, что попадания в круглую мишень происходят равномерно по площади всей мишени, а диаметр центра мишени в 5 раз меньше диаметра самой мишени, то вероятность попадания в центр (при условии попадания в мишень) равна отношению площадей центра мишени и всей мишени:

В этом случае количество вариантов, благоприятствующих А, бесконечно, но и общее число вариантов исхода испытания бесконечно, т.е. формулы классической или статистической вероятности неприемлемы.
Вероятность, определяемую как отношение длин, площадей, объемов, называют геометрической вероятностью.

§6. Простейшие свойства вероятностей
Для классического, статистического и геометрического определений вероятности выполняются следующие аксиомы:
I.	Р (А) ³ 0 для любого наблюдаемого события А; Р (W) = 1;
II.	Если события А и В несовместны (А · В = Æ), то Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Из аксиом можно вывести следующие свойства:
1. Р (Æ) = 0, откуда следует, что если А и В несовместны (А · В = Æ), то Р (А · В) = 0.
2. Р () = 1  Р (А).
3. Р (А) £1.
4. Если А Ì В (А влечет за собой В, т.е. все исходы, содержащиеся в А, содержатся и в В), то Р (А) £ Р (В).
5. Если А = B (т.е. А Ì В и В Ì А), то Р (А) = Р (В).
6. Р (А + В) = Р (А) + Р (В)  Р (А · В), формула сложения вероятностей. В частности, если А и В несовместны (А · В = Æ), то получим аксиому III.

§7. Условные вероятности. независимость событий
Условная вероятность Р (В / А) = РA (В)  это вероятность осуществления события В при условии, что событие А уже произошло (причем последнее не является невозможным, т.е. Р (А) > 0). 
Эту вероятность можно вычислить по формуле

Для краткости эта величина называется “вероятностью события В при условии А”. Заметим, что для величины Р (В / А) выполняются аксиомы I, II, III, и, следовательно, простейшие свойства (см. §6).
Обозначим через Х число очков, выпавших при одном бросании игральной кости. Пусть А = {Х - простое число}, В = {Х - четное число}. Тогда Р (А) = 3/6 = 1/2 (числа 2, 3, 5  простые, 1, 4, 6  нет), Р (В) = 3/6 = 1/2, Р (А · В) = 1/6 (простое и четное одновременно число только одно  это 2). Следовательно, Р (В / А) = 1/3, т.е. вероятность того, что выпало четное число очков при условии, что выпало простое число очков, равна 1/3 (среди 3 простых чисел четное одно); Р (А/В) = 1/3, т.е. вероятность того, что выпало простое число очков при условии, что выпало четное число очков, также равна 1/3 (среди 3 четных чисел простое  одно).
События А и В называют независимыми, если
Р (А · В) = Р (А) · Р (В).
Если одно из событий невозможное (Æ), то в обеих частях стоят нули. Если же Р (А) > 0 и Р (В) > 0, то Р (А / В) = Р (А), Р (В / А) = Р (В).
Для последнего примера Р (А · В) Р (А) · Р (В), значит, А и В зависимые. Во многих задачах независимость событий задается по условию задачи (из общих соображений).

§8. Вероятность наступления хотя бы одного события
Сложные события выражаются через другие наблюдаемые события с помощью алгебраических операций, описанных в §2. Основные формулы для вычисления вероятностей таких событий:

Р () = 1  Р (А). (1)
Р (А · В) = Р (А) · Р (В / А) = Р (В) · Р (А / В), 
если Р (А) > 0, Р (В) > 0 (формула умножения вероятностей); (2)
Р (А + В) = Р (А) + Р (В)  Р (А · В)

(формула сложения вероятностей). (3)
Пример 1. Два стрелка независимо друг от друга ведут стрельбу по мишени, причем вероятности попадания при одном выстреле в мишень для них равны p1 = 0,8, p2 = 0,6. Каждый произвел по одному выстрелу. Вычислить вероятность события А = {произойдет ровно одно попадание}.
Рассмотрим события А1 = {первый стрелок попал в мишень} и А2 = {второй стрелок попал в мишень}. Тогда  = {первый стрелок промахнулся}, a  = {второй стрелок промахнулся}. В мишени окажется ровно одна пробоина в тех случаях, когда либо первый попал, а второй промахнулся, либо первый промахнулся, а второй попал. Поэтому А = А1 · + А2 ·. Последние два события несовместны, поэтому сумма их вероятностей равна вероятности их суммы А. События А1 и , а также А2 и  попарно независимы, т.е. вероятности произведений этих событий равны соответствующим произведениям вероятностей этих событий. Т.к. Р (А1) =p1=0,8, P (A2) =p2=0,6, то Р () = 1  p1 = q1 = 0,2, P () = 1  p2 = q2 = 0,4 и Р (А) = p1q2 + p2q1 = 0,44. Вероятность наступления “хотя бы одного события" (т.е. суммы нескольких событий) вычисляют по формуле

 (4)

Если же эти события попарно независимы, то

Пример 2. В продукции предприятия 10% бракованных изделий. Какова вероятность, что среди 4 взятых независимо изделий хотя бы одно бракованное?
Пусть А  интересующее нас событие, А = A1+ A2+ A3+ A4, где A1 = {первое изделие бракованное}, A2 = {второе изделие бракованное} и т.д. Так как A1, A2, A3, A4 независимы, то и события  также независимы. Событие = {среди 4 изделий ни одного бракованного} = , где  = {первое изделие не бракованное} и т.д. Так как Р (A1) = Р (A2) = Р (A3) = Р (A4) = 0,1 (=10%), то Р () = (1  0,1) 4 = 0,94 = 0,6561. Значит, Р (А) = 1  Р () = 0,3439.
Если изделий не 4, а 2, то вероятность того, что из этих двух изделий хотя бы одно бракованное, можно вычислить с помощью формулы (3), т.е. не переходя к противоположному событию:

P (A1+A2) = P (A1) + P (A2)  P (A) P (A2) = 0,1 + 0,1  0,01 = 0, 19.

§9. Формула полной вероятности
Пусть H1, H2,.,Hn  полная группа несовместных событий (определение см. в §2) и пусть событие А может произойти только с одним из событий Нk. Для такого события А выполняется следующая “формула полной вероятности”

События Hk принято называть гипотезами по отношению к событию А. Вероятности Р (Hk) трактуются как доопытные (априорные) вероятности гипотез.
Пример 1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Стрелок сделал два выстрела, а затем бросил симметричную монету столько раз, сколько попал в мишень. Какова вероятность, что в результате выпал ровно один “орел”?
Здесь в качестве гипотез рассмотрим события Н1 = {произошло два попадания}, H2 = {произошло одно попадание}, H3 = {произошло два промаха}. Их вероятности Р (Н1) = 0,82 = 0,64, Р (Н2) = 2 · (1  0,8) · 0,8 = 0,32 (множитель 2 здесь из-за того, что гипотеза содержит два равновероятных события: “попал - промахнулся" и “промахнулся - попал"  это формула Бернулли при р = 0,8, q = 0,2, n = 2, k = 1  см. §11), Р (Н3) = (1  0,8) 2 = 0,04. Сумма вероятностей этих гипотез равна 1, как и должно быть для полной группы. Далее рассмотрим событие А = {выпал ровно один “орел”}. Если произошло событие Н1, то монета бросается дважды. Вероятность того, что при этом выпадет ровно 1 “орел”, равна Р (А/ H1) = 0,5 (либо “орел - решка" с вероятностью 0,25, либо “решка - орел” также с вероятностью 0,25). Если произошло событие Н2, то монета бросается один раз и вероятность выпадения при этом одного “орла" равна Р (А/H2) = 0,5. Если же происходит событие Н3, то монету не бросают и Р (А/H3) = 0. Все данные для формулы полной вероятности получены. Следовательно,

Р (А) = Р (Н1) Р (А/H1) + P (H2) P (A/H2) + P (H3) P (A/H3) = 0,48.

Пример 2. В ящике лежат 10 теннисных мячей, в том числе 8 новых и 2 играных. Для игры наудачу выбираются два мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры наудачу извлекаются еще два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?
Здесь удобно задать 3 гипотезы: H1 = {для первой игры взяты 2 новых мяча}, H2 = {для первой игры взяты новый и играный мячи}, Н3 = {для первой игры взяты 2 играных мяча}. 
Их вероятности вычисляются по формуле классической вероятности (как и в примерах из §4):

; ; 

(Проверка: Р (H1) + Р (H2) + Р (H3) = 1).
Событие А = {для второй игры взяты два новых мяча}. В результате осуществления гипотезы H1 в ящике останется 6 новых и 4 играных мяча, поэтому . В результате осуществления гипотезы H2 в ящике будет 7 новых мячей из 10, поэтому . Аналогично, . Таким образом,

Заметим, что в одной и той же задаче могут быть выбраны разные наборы гипотез, скажем, в примере 2 гипотезу H2 можно представить в виде суммы двух: H2 = {первый взятый для первой игры мяч новый, второй  играный}+{первый взятый для первой игры мяч играный, второй  новый} и т.д. Желательно формулировать гипотезы так, чтобы их вероятности, а также и условные вероятности, вычислялись проще.

§10. Формула Байеса
В этом параграфе {H1, H2, H3, H4}  по-прежнему, полная группа несовместных событий (гипотез). Если Р (А) > 0, Р (Hk) > 0, то Р (А · Hk) = Р (А) · Р (Hk / А) = Р (Hk) · Р (А / Hk) (см. §§7,8), откуда

это формула Байеса, в которой Р (А) вычисляют по формуле полной вероятности. Р (Hk / А)  вероятность осуществления гипотезы Hk при условии, что событие А осуществилось. Эту вероятность называют послеопытной или апостериорной. Для ее вычисления рассматривают только те испытания, которые закончились “успехом”, т.е. осуществлением события А. Вероятность Р (Hk / А) выражает “долю" гипотезы Hk для вышеуказанных испытаний.
Пример 1. (см. пример 1 из §8).
Два стрелка независимо друг от друга ведут стрельбу по мишени, причем вероятности попадания при одном выстреле в мишень для них равны p1 = 0,8 и p2 = 0,6. Каждый сделал по одному выстрелу, причем в результате в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что промахнулся второй.
Зададим гипотезы: Н1 = {оба стрелка либо попали, либо промахнулись}, H2 = {попал только первый}, H3 = {попал только второй}. Подсчитаем их вероятности: P (H1) = p1p2 + q1q2 = 0,56, P (H2) = p1q2 = 0,32, P (H3) = q1p2 = 0,12. Сумма их вероятностей равна 1.
Событие А = {в мишени оказалась ровно 1 пробоина} осуществилось, т.е. данная задача на формулу Байеса. Событие {при одной пробоине промахнулся второй} это гипотеза H2. По формуле Байеса

т.к. Р (А/Н1) = 0, Р (А/Н2) = Р (А/Н3) = 1. Значение Р (А), вычисленное по формуле полной вероятности, совпадает с результатом, вычисленным ранее в §8 другим способом. Итак, в среднем среди каждых 11 исходов, заканчивающихся одним попаданием, 8 соответствуют варианту H2 = {первый попал, второй промахнулся}, а остальные три  H3.
Пример 2. (см. пример 2 из §9)
В ящике лежат 10 теннисных мячей, в том числе 8 новых и 2 играных. Для игры наудачу выбираются 2 мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры наудачу извлекаются еще 2 мяча, оказавшиеся новыми. Какова вероятность, что первая игра также проводилась новыми мячами?
Событие А = {для второй игры взяты два новых мяча}, осуществилось. Поэтому задача решается по формуле Байеса. Нас интересует вероятность Р (H1/А), где, напомним, гипотеза H1 ={для первой игры взяты 2 новых мяча}. Подставим в формулу Байеса вероятности, подсчитанные в §9.

Постановки задач, подобных изложенным в §9 и в §10, встретятся при решении задачи №1 из контрольной работы.

Комментарии к задаче №2

§11. Повторные независимые испытания
Пусть проводится n последовательных испытаний. Предположим, что эти испытания независимые, т.е. вероятность осуществления очередного исхода не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний. Рассмотрим простейший случай, когда различных исходов всего два (“успех" и “неуспех”). Более того, речь пойдет о случае, когда вероятность “успеха" в каждом из испытаний неизменна и равна p, т.е. вероятность “неуспеха" также неизменна и равна q = 1 p. Такие испытания называются испытаниями Бернулли.
Простейшими примерами здесь могут служить: последовательное бросание монеты (с вероятностью “успеха"  выпадения “орла"  равной 0,5); последовательная стрельба по мишени с постоянной вероятностью “успеха"  попадания  в каждом выстреле; извлечение из урны, содержащей шары двух цветов, по одному шару с возвращением (и перемешиванием); и т.д.
Я. Бернулли вычислил вероятность того, что в n последовательных “испытаниях Бернулли” произойдет ровно k “успехов”

(о вычислении числа см. §4).
Пример 1. Вероятность того, что при 4 бросках игральной кости выпадут ровно 2 “четверки”, равна

Здесь p  вероятность выпадения “четверки" в одном броске  равна 1/6, q = 5/6, общее число испытаний n = 4, число “успехов” k = 2.
Пример 2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле p = 0,6. Какова вероятность, что при пяти выстрелах будет 3 попадания?
Здесь 

n = 5, k = 3, q = 1 
p = 0,4,.

Пример 3. В урне 4 белых и 2 черных шара.6 раз извлекают по 1 шару, записывают цвет, а шар возвращают в урну и перемешивают шары. Какова вероятность, что среди записанных шаров более 4 белых?
Пусть “успех” состоит в том, что вынут белый шар. Тогда p= 4/6 = 2/3 (из 6 шаров 4 белых), q = 1  p = 1/3. По условию n= 6, k = 5 или k = 6, откуда искомая вероятность

.

Пример 4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле p = 0,6. Какова вероятность, что третье попадание произойдет в пятом выстреле?
Эта задача отличается от рассмотренной в примере 2: там третье попадание может произойти и раньше пятого выстрела. Искомое событие является произведением двух следующих (независимых): А = {в первых 4 выстрелах ровно 2 попадания} и В={в пятом выстреле попадание}. P (A) вычисляется по формуле Бернулли

,
a P (B) = p = 0,6. Поэтому искомая вероятность равна

В общем случае вероятность того, что к-й “успех” произойдет ровно в n-м испытании Бернулли, равна

.

Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле p = 0,6. Какова вероятность, что в 5 выстрелах произойдет хотя бы 2 попадания?
Мы знаем, что Р5 (0) + Р5 (1) + Р5 (2) + Р5 (3) + Р5 (4) + Р5 (5) = 1. В данной задаче нас интересует сумма четырех последних слагаемых: 

Заметим, что проще воспользоваться вероятностью противоположного события: 1- P5 (0) P5 (1) =1-0,455 0,44  0,6 = 0,91296.

§12. Другие формулы вычисления вероятностей для схемы Бернулли
Хотя формула Бернулли и является точной, она не всегда удобна. Например, при 100 бросках монеты

,

и вычисление точного ответа затруднительно. Формула Бернулли приемлема для вычислений, если число испытаний не превышает 10-15. При больших n используют либо формулу Лапласа, либо формулу Пуассона.
Формула Лапласа (локальная теорема Лапласа)

, , 

тем точнее, чем больше n. Здесь n, k, p, q  те же величины, что и в формуле Бернулли. Функция jx) четная: jx) = jx). Она быстро убывает: считают, что при x > 4 jx) = 0. Таблица, позволяющая вычислять значения функции j (x), имеется во всех учебниках и задачниках по теории вероятностей. Впрочем, можно не иметь таблицы, а иметь калькулятор, вычисляющий экспоненту (функцию ех).
Пример 1. Вероятность выпадения ровно 50 “орлов” при 100 бросках монеты Р100 (50) вычислим по формуле Лапласа. Здесь n = 100,k = 50,p=0,5, q = 0,5, k  np = 0,  и

.

Пример 2. Найти вероятность выпадения от 47 до 57 “орлов” при 100 бросках монеты. При решении подобных задач (при n > 15) используют интегральную теорему Лапласа: вероятность Рn (k1,k2) появления события в n испытаниях от k1 до k2 раз

Здесь n, p, q те же, что и в примере 1: n=100, p = q =0,5, k1=47, k2 = 57.

Функция F вычисляется с помощью таблиц (см. приложение).

Функция Ф (x) нечетная: Ф (х) =  Ф (х). При х > 5 считают, что Ф (х) = 0,5.
Итак, Р100 (47,57) = Ф (1,4) + Ф (0,6). По таблице Ф (1,4) = 0,4192, Ф (0,6) = 0,2257, поэтому Р100 (47,57) = 0,6449.
При небольших значениях вероятности p (меньших 0,1) и больших значениях n более точный результат дает другая приближенная формула  формула Пуассона

, l =np

l называется параметром распределения Пуассона, а сама формула выражает “закон редких явлений" (т.к. p мало).
Пример 3. Первый черновой набор “Методических указаний” на 50 страницах содержит 100 опечаток. Какое из событий вероятнее: на наудачу взятой странице нет опечаток, 1 опечатка, 2 опечатки, 3 опечатки?
Вероятность того, что данная опечатка попадет на наудачу взятую страницу равна 1/50 = 0,02, число испытаний (опечаток) n = 100. Поскольку p мало, воспользуемся формулой Пуассона с параметром l= np = 2. Вероятность того, что опечаток нет

 (т.к.0! = 1)

Другие вероятности

,
.

Как видим, наибольший коэффициент при е2 у Р100 (1) и Р100 (2).
Ответ: наиболее вероятны 1 или 2 опечатки, их вероятность .

Комментарии к задаче №3

§13. Случайные величины дискретного типа
Cлучайной величиной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное числовое значение из заранее известной совокупности значений. Случайной величиной дискретного типа (дискретной случайной величиной) называется величина, которая может принимать либо конечное число возможных значений, либо такое бесконечное число значений, которые могут быть расположены в числовую последовательность Е1, Е2,. Для каждого из этих значений указывают его вероятность. Сумма этих вероятностей должна быть равна 1. Если случайная величина принимает только одно значение, то соответствующая ему вероятность равна 1.
Пример 1. Пусть Х1 - число “орлов”, выпавших при двух бросках симметричной монеты. Х может принимать значения 0, 1 или 2 с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли: . Т.к. p = q = 0,5, то эти вероятности равны 0,25; 0,5; 0,25 соответственно.
Дискретные случайные величины записывают в виде таблицы. Для данного примера получим:

Х1	0	1	2	
Р	0,25	0,5	0,25	

Верхняя строчка  возможные значения Х1, Р  их вероятности, сумма которых равна 1.
С помощью таблицы можно считать вероятности попадания случайной величины дискретного типа в интервалы. Например, для заданной выше случайной величины Х

.

Пример 2. В полном наборе игры в домино 28 костей. Пусть Х2 - сумма очков на случайно выбранной кости. Поскольку наименьшее значение такой суммы равно 0 ("пусто-пусто"), следующее - 1 и так до 12 ("6-6"), Х является случайной величиной дискретного типа. Зададим ее таблицей. 

Х2	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	
Р														

Вероятности в этой таблице вычислены по формуле классической вероятности, в числителях дробей количества костей домино с данным числом очков, знаменатели равны общему числу костей.
Случайные величины традиционно обозначаются заглавными буквами X, Y, Z,., а их возможные значения - прописными: x1, x2, y1, и т.д.

§14. Функция распределения
Если F (x) = P (X < x), то функция F (x) называется функцией распределения (интегральной функцией распределения) случайной величины Х, т.е. функция распределения в точке “х”  это вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее заданного числа х.
Из определения сразу следуют несколько свойств F (x):

F ( ¥)= 0, F (+ ¥) = 1;

F (x)  неубывающая функция (т.е. если x1 < x2, то F (x1) £ F (x2)).
Функция распределения для случайной величины дискретного типа имеет “ступенчатый” график. Для случайной величины Х1 из §13 F (x) запишется так:

Обратите внимание, что левые концы "ступенек"  выколотые, а правые  нет. Например, 

F (1) = P (X1 < 1) = P (X1 =0) = 0,25;
F (1,1) = P (X1<1,1) = P (X1 = 0) + P (X1 = 1) = 0,75. 

"Высоты" "ступенек" равны очередным вероятностям, взятым из таблицы: сначала 0,25, затем еще +0,5, и наконец еще +0,25.
Аналогичный график и для другого примера - про домино - только там будет не 2, а 12 "ступенек".
Справедлива формула: P (a £X < b) = F (b)  F (a).

§15. Математическое ожидание случайной величины дискретного типа
Математическое ожидание - важнейшая “характеристика положения" случайной величины. Для дискретной величины она вычисляется по формуле

М (Х) = x1 · p1 + x2 · p2 +. + xk · pk (+.) = ,

где x1, x2,., xk,.  возможные значения случайной величины (верхняя строка таблицы), p1, p2,., pk,.  их вероятности (нижняя строка).
Математическое ожидание  это число, которое выражает среднее значение случайной величины (иначе, среднее значение по распределению). Для примера из §13

М (Х1) = 0 · 0,25 + 1 · 0,5 + 2 · 0,25 = 1.

Здесь Х1  число “орлов”, выпавших при 2 бросках симметричной монеты. М (Х1)  среднее число “орлов”, выпадающих при 2 бросках симметричной монеты, это число равно 1.
Для другого примера из §13 М (Х2) = 6.
Отметим два простейших свойства математического ожидания:

1. М (С) = С
2. М (С · Х) = С · М (Х) (С  постоянная).

В дальнейшем нам придется вычислять математическое ожидание случайной величины Х2. Если случайная величина Х задается таблицей

X	x1	x2	. 	xk	
P	p1	p2	. 	pk	

то случайная величина Х2 получится после возведения в квадрат возможных значений случайной величины Х, при этом 

Р (Х = хк) = = Р (Х2 = хк2) = pk:

X2	x12	x22	. 	xk2	
P	p1	p2	. 	pk	

Поэтому

М (Х2) = x12 · p1 + x22 · p2 +. + xk2 · pk = .

В частности, для примера из §13

X2	02	12	22	
P	0,25	0,5	0,25	

и М (Х2) = 02 · 0,25 + 12 · 0,5 + 22 · 0,25 = 1,5

§16. Дисперсия случайной величины
Дисперсия  важнейшая "характеристика рассеивания" случайной величины. Рассеивание оценивается относительно среднего значения случайной величины Х  математического ожидания М (Х). Из всех возможных значений случайной величины Х вычитают число М (Х). Новая случайная величина Y = XM (X) называется отклонением случайной величины Х, причем ее среднее значение М (Y) = 0. Далее рассматривается случайная величина Y2. Ее возможные значения неотрицательны. Среднее значение квадрата отклонения М (Y2) также неотрицательно. Оно и называется дисперсией. Итак,

D (X) = M (Y2) =M ( (X  M (X)) 2).

Для вычисления дисперсии используют формулу

D (X) = M (X2)  (M (X)) 2.

Для дисперсии справедливы свойства:

D (C) = 0, D (C · X) = C2 · D (X).

Вновь вспомним пример из §13. Для него М (Х1) и М (Х12) уже подсчитаны выше: М (Х1) = 1, М (Х12) = 1,5. Поэтому D (X) = 1,512 = 0,5.
Для второго примера из §13 М (Х2) = 6, М (Х22) = 45, D (X) = 45 62 = 9.

§17. Биномиальный и пуассоновский законы распределения
Биномиальное распределение связано с повторными независимыми испытаниями и формулой Бернулли. 
Оно задается фиксированным числом испытаний n и вероятностью "успеха" в одном испытании p. Отличительные черты биномиального эксперимента:
1.	все n испытаний абсолютно одинаковы;
2.	результаты разных испытаний не зависят друг от друга;
3.	для каждого испытания возможны только два исхода: "успех" и "неудача"; "успех" - когда интересующее нас событие появилось, и "неудача", - когда не появилось;
4.	для каждого испытания вероятность появления "успеха" постоянна и равна p.
Число "успехов" в n независимых испытаниях будет случайной величиной X, распределенной по биномиальному закону. Вероятность того, что случайная величина X, распределенная по биномиальному закону примет значение k, вычисляется по известной формуле Бернулли:

n

n-1

2

0

Pi

X

…

…

1

Ряд распределения X принимает вид:

Числовые характеристики биномиального распределения.
1.	математическое ожидание равно произведению числа испытаний n на вероятность "успеха" в одном испытании p: М (Х) = np;
2.	дисперсия равна произведению числа испытаний n на вероятность "успеха" в одном испытании p и на вероятность "неудачи" q: D (X) = npq.
Распределение Пуассона.
Приведем примеры, приводящие к случайным величинам, распределенным по закону Пуассона:
•	Автоматическая телефонная станция получает в среднем за минуту а вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит ровно m вызовов? Случайное число вызовов за данную минуту распределено по закону Пуассона.
•	Автодорожная инспекция регистрирует количество аврий за неделю на определенном участке дороги. Какова вероятность того, что в течение данной недели произойдет ровно m дорожных аварий? Случайное число аварий за неделю распределено по закону Пуассона.
Аналогичные примеры можно привести не только для временных интервалов (минута, неделя), но и при учете дефектов дорожного покрытия на километр пути или опечаток на страницу текста.
Отличительные черты эксперимента, приводящего к распределению Пуассона (на примере временных интервалов):
1.	каждый малый интервал времени может рассматриваться как испытание, результатом которого служит либо "успех" - поступление телефонного вызова, либо "неудача". Интервалы столь малы, что может быть только один "успех" в одном интервале, вероятность которого мала и неизменна.
2.	Число "успехов" в одном большом интервале не зависит от их числа в другом. То есть попадание "успехов" в неперекрывающиеся интервалы - события независимые, и "успехи" беспорядочно разбросаны по временным промежуткам;
3.	среднее число "успехов" в большом интервале для разных интервалов постоянно на протяжении всего времени.
Число "успехов" на заданном интервале будет случайной величиной, распределенной по закону Пуассона. 
Случайное число аварий за неделю может принимать значения 0, 1, 2, 3, … (верхнего предела нет). Вероятность того, что случайная величина X, распределенная по закону Пуассона примет значение m, вычисляется по известной формуле Пуассона:

, m = 0, 1, 2, …

Числовые характеристики распределения Пуассона.
Математическое ожидание равно дисперсии и равно параметру распределения а: М (Х) = а, D (X) = а.

Комментарии к задаче №4

§18. Случайные величины непрерывного типа
Если возможные значения случайной величины сплошь заполняют некоторый промежуток <a,b> R (быть может, и всю ось), то табличный способ задания случайной величины непригоден. Такая случайная величина называется случайной величиной непрерывного типа. Ее функция распределения F (x) будет непрерывна. Напомним, что F (¥) = 0, F (+ ¥) = 1, F (x)  монотонная неубывающая функция. Производная такой функции F (x) будет функцией неотрицательной. Она называется плотностью распределения вероятностей или дифференциальной функцией распределения вероятностей. Ее обозначение .
Часто по условию задачи задают именно плотность распределения, зная которую можно вычислить и (интегральную) функцию распределения (по формуле Ньютона - Лейбница):

F (x) = F (x)  F ( ¥) = 

Заметим, что f (x)  не обязательно непрерывная функция, она допускает в отдельных точках разрывы 1-го рода.
Итак, f (x)  неотрицательная кусочно-непрерывная функция, причем, согласно одному из свойств F (x),

F (+ ¥) == 1

Последнее равенство, называемое условием нормировки f (x), показывает, что f (x)  не любая неотрицательная функция: площадь между графиком плотности распределения и осью абсцисс должна быть равна 1. (Для дискретной случайной величины условием нормировки являлось равенство ).
Для непрерывных случайных величин справедливы равенства F (b) 

F (a) = P (a £X < b) = P (a < X < b) = P (a < X £b) = 
= P (a £X £b) = .

М (Х) и D (X) определяются формулами

M (X) =, D (X) =.

Вычислительная формула для D (X):

D (X) = M (X2)  (M (X)) 2 =  (M (X)) 2.

§19. Нормальный закон распределения и его характеристики
Нормальный (гауссовский) закон распределения задается плотностью распределения по формуле

,  ¥<x <¥

Числа а ÎR и s> 0 называются параметрами нормального закона. Нормальный закон с такими параметрами обозначается N (a,s).
При а = 0 функция f (x) четная (f (x) = f (x)), ее график симметричен относительно оси OY, и поэтому среднее значение М (Х) = 0. График f (x) для закона N (a,s) получается из графика f (x) для N (0,s) сдвигом на а единиц вправо (это известно из курса средней школы), поэтому в общем случае М (Х) = а для нормального закона.
Дисперсия же вычисляется по формуле D (X) =s2.
Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с плотностью вероятности

. Найти А, М (Х), D (X), P (3<X<3).
Т.к. , то 

Показатель экспоненты  приравняем к , откуда а = 2, s= 1. Числовой коэффициент должен быть равен А, следовательно,

, M (X) = a = 2, D (X) = s2 = 1. P (3 < X < 3) = F (3)  F (3) = 
=

Этот интеграл не вычисляется в элементарных функциях, его численное значение можно найти по таблицам.
В большинстве учебников имеются таблицы для вычисления функций

Ф (х) =  
или Ф1 (х) =  =  + Ф (х)

Ф (х)  нечетная функция, т.е. Ф (х) =  Ф (х). В общем случае

Р (x1 < X < x2) = ,

где а и s - параметры нормального закона. Следовательно, для данного примера

P (|X| < 3) = Ф1 (1)  Ф1 (5) = Ф (1)  Ф (5) = Ф (1) + Ф (5) =
= 0,3413 + 0,5 = 0,8413.

§20. Другие законы распределения непрерывных случайных величин
Кроме нормального закона есть и другие случайные величины, часто встречающиеся в приложениях. Приведем некоторые из них.
Для равномерного закона плотность вероятности и функция распределения задаются формулами

, ,

а числовые характеристики 

М (Х) = , D (X) = .

Для показательного закона плотность вероятности и функция распределения задаются формулами

, ,

а числовые характеристики М (Х) = 1/a, D (X) = 1/a2.
Эти формулы можно использовать при решении задач.

4. Методические указания к выполнению задания №5

Математическая статиcтика изучает массовые явления и процессы, ставя целью получение выводов по данным наблюдений за ними. В результате появляются утверждения об общих характеристиках таких явлений в предположении постоянства начальных условий явления. Теоретической основой математической статистики является теория вероятностей.
Поскольку число наблюдений конечно, их результаты можно записать в таблицу аналогично дискретной случайной величине, только в нижней строке не вероятности, а частоты тех или иных значений, а чаще - диапазонов. При этом при анализе такой таблицы нередко возникает предположение, что данная величина распределена по одному из известных непрерывных законов (см. комментарии к задаче № 4), чаще всего - нормальному (гауссовскому).
Типовой пример
Получены статистические данные (N=500) зависимости результатов измерения роста студентов (Х) от окружности груди (Y). Измерения проводились с точностью до 1 см.

Таблица 1 "Статистические данные типового примера". 
N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	
X	172	172	163	187	172	161	176	164	166	168	162	163	
Y	88	91	89	99	90	85	88	84	82	82	82	89	
N	489	490	491	492	493	494	495	496	497	498	499	500	
X	165	173	166	175	158	174	178	170	167	168	161	161	
Y	85	89	84	98	83	86	90	86	93	94	89	88	

Требуется:
1 часть.
1)	произвести выборку из 200 значений;
2)	построить эмпирическую функцию распределения, полигон, гистограмму для случайной величины Х;
3)	построить точечные и интервальные оценки для мат. ожидания и дисперсии генеральной совокупности Х;
4)	сделать статистическую проверку гипотезы о законе распределения случайной величины Х;
часть 2.
1) нанести на координатную плоскость данные выборки (x; y) и по виду корреляционного облака подобрать вид функции регрессии;
2) составить корреляционную таблицу по сгруппированным данным;
3)	вычислить коэффициент корреляции;
4)	получить уравнение регрессии;
Решение.
1)	Произведём из генеральной совокупности N=500 выборку n=200 значений. Для этого воспользуемся таблицей случайных чисел (Приложение А). Выберите столбец, номер которого соответствует месяцу Вашего рождения. В этом столбце отсчитайте порядковый номер даты дня рождения. В полученном случайном числе определите номера ещё трёх столбцов. Для данного примера выбрана дата 31 декабря. В 12 столбце определили 31 номер случайного числа. Это число 0436. Значит выбранными будут столбцы №12; 4; 13; 16. (№12 - месяц Вашего рождения, №4 - первая или вторая цифра в случайном числе, которая не использовалась, №13 - третья цифра в случайном числе +10, №16 - четвёртая цифра в случайном числе +10). Если цифры повторяются, то нужно взять со3седние номера. Например, случайное число во втором столбце - 4422. Нужно выбрать номера 2,4,12,13.
Для осуществления выборки берутся последние три цифры в случайном числе, которые определяют порядковый номер выборочного значения. Если в выборке встретился номер, которого нет в генеральной совокупности, то необходимо вычислить разность между этим числом и 500. Если полученный номер уже выбрали, то необходимо выбрать следующий за ним номер.
Для представленного примера получилась выборка:

Таблица 2 "Выборочные данные X и Y"
N	106	493	66	201	274	158	223	336	362	162	96	20	
X	162	166	172	169	176	167	167	168	167	169	167	69	
Y	100	84	82	91	86	90	92	88	89	88	89	83	
N	288	251	257	152	279	478	86	439	368	203	271	395	
X	169	163	164	164	164	178	176	167	165	172	168	170	
Y	91	92	84	89	85	91	82	85	90	87	88	88	
N	396	94	305	341	12	128	492	407	172	87	441	29	
X	187	165	171	171	169	163	161	175	172	163	180	172	
Y	86	87	94	91	79	80	88	95	89	91	98	90	
N	140	59	70	453	487	447	105	232	95	456	80	225	
X	174	164	169	157	178	176	161	176	165	161	182	176	
Y	97	89	88	90	90	93	94	90	87	84	90	93	
N	147	101	373	51	343	355	195	463	260	183	326	282	
X	168	164	160	178	170	168	173	176	170	163	165	165	
Y	93	91	83	89	90	81	89	95	81	93	84	88	
N	139	483	399	467	266	372	356	290	241	273	450	329	
X	170	166	165	181	172	165	172	178	173	165	174	159	
Y	86	84	85	92	88	91	98	90	90	87	96	81	
N	469	423	242	475	168	365	107	428	367	457	224	199	
X	171	169	169	170	170	165	190	175	157	148	172	159	
Y	92	92	87	91	88	94	105	91	82	87	99	83	
N	404	363	192	109	429	60	13	291	400	337	100	187	
X	162	167	167	160	175	163	164	180	164	169	169	170	
Y	92	85	88	87	90	91	89	85	84	87	91	93	
N	88	292	283	52	45	358	252	62	130	286	361	184	
X	179	167	162	169	172	166	164	173	161	159	166	158	
Y	99	81	80	91	99	82	84	84	82	86	84	91	
N	79	371	378	419	307	56	374	169	43	298	239	145	
X	163	165	170	172	161	171	166	164	183	173	166	167	
Y	88	87	91	94	84	97	87	97	90	90	89	85	
N	325	65	153	375	9	340	142	193	261	116	26	253	
X	162	156	167	168	170	171	174	179	161	170	172	166	
Y	89	88	86	92	90	91	90	85	79	95	91	88	
N	61	202	440	21	200	221	332	275	287	108	468	103	
X	173	172	179	155	175	173	170	171	171	167	165	173	
Y	89	96	85	86	89	96	96	83	90	91	91	90	
N	240	110	424	414	296	284	83	435	81	54	397	134	
X	167	165	169	171	181	164	164	176	163	165	174	177	
Y	89	94	82	89	89	86	91	87	88	93	86	87	
N	303	430	34	144	277	451	179	472	342	293	327	448	
X	180	170	168	175	171	170	168	160	169	164	171	164	
Y	90	91	82	85	89	90	87	85	91	87	91	83	
N	154	438	297	219	196	204	230	258	262	213	89	357	
X	164	163	170	174	161	167	173	164	174	168	176	156	
Y	83	88	92	88	91	91	87	90	91	83	93	85	
N	426	480	156	127	295	115	36	7	473	376	157	254	
X	162	168	176	184	165	176	163	167	169	186	172	175	
Y	90	93	88	98	94	92	89	88	89	92	91	90	
N	98	126	265	443	82	110	432	479	
X	170	173	160	171	169	165	185	168	
Y	90	91	89	85	87	94	91	90	

Составим ранжированный (по увеличению) ряд для случайной величины Х.

Таблица 3 "Ранжированный ряд случайной величины Х"
X	148	155	156	156	157	157	158	159	159	159	160	160	
Y	87	86	85	88	82	90	91	81	83	86	83	85	
X	160	161	161	161	161	161	161	162	162	162	162	162	
Y	87	79	82	84	84	88	91	80	89	90	92	94	
X	162	163	163	163	163	163	163	163	163	163	164	164	
Y	100	80	88	88	88	89	91	91	92	93	83	83	
X	164	164	164	164	164	164	164	164	164	164	164	164	
Y	84	84	84	85	86	87	89	89	89	90	90	91	
X	164	164	165	165	165	165	165	165	165	165	165	165	
Y	91	97	84	85	87	87	87	87	88	90	91	91	
X	165	165	165	165	165	166	166	166	166	166	166	166	
Y	93	94	94	94	94	82	84	84	84	87	88	89	
X	166	167	167	167	167	167	167	167	167	167	167	167	
Y	89	81	85	85	85	86	88	88	89	89	89	90	
X	167	167	167	168	168	168	168	168	168	168	168	168	
Y	91	91	92	81	82	83	87	88	88	90	92	93	
X	168	169	169	169	169	169	169	169	169	169	169	169	
Y	93	79	83	87	87	87	88	88	89	91	91	91	
X	169	169	169	169	170	170	170	170	170	170	170	170	
Y	91	91	92	92	81	86	88	88	90	90	90	90	
X	170	170	170	170	170	170	170	171	171	171	171	171	
Y	91	91	91	92	93	95	96	83	85	89	89	90	
X	171	171	171	171	171	171	172	172	172	172	172	172	
Y	91	91	91	92	94	97	82	87	88	89	90	91	
X	172	172	172	172	172	172	173	173	173	173	173	173	
Y	91	94	96	98	99	99	84	87	89	89	90	90	
X	173	173	173	174	174	174	174	174	174	175	175	175	
Y	90	91	96	86	88	90	91	96	97	85	89	90	
X	175	175	175	176	176	176	176	176	176	176	176	176	
Y	90	91	95	82	86	87	88	90	92	93	93	93	
X	176	177	178	178	178	178	179	179	179	180	180	180	
Y	95	87	89	90	90	91	85	85	99	85	90	98	
X	181	181	182	183	184	185	186	187	190	
Y	89	92	90	90	98	91	92	86	105	

Cоставим новую таблицу, в которой отразим частоты появления случайных величин  и относительные частоты .

Таблица 4 "Дискретный вариационный ряд"
i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	
	148	155	156	157	158	159	160	161	162	163	164	165	
	1	1	2	2	1	3	3	6	6	9	15	15	
													
i	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	
	166	167	168	169	170	171	172	173	174	175	176	177	
	8	14	10	15	15	11	12	9	6	6	10	1	
													
i	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	
	178	179	180	181	182	183	184	185	186	187	190	
	4	3	3	2	1	1	1	1	1	1	1	

В данном примере случайные величины сплошь заполняют промежуток (148; 190). Число возможных значений велико. Их нельзя представить в виде случайных величин, принимающих отдельные, изолированные значения, тем самым отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины. Поэтому для построения вариационного ряда будем использовать интервальный ряд распределения. Весь возможный интервал варьирования разобьём на конечное число интервалов и подсчитаем частоту попадания значений величины в каждый интервал. Минимальное и максимальное значения случайной величины:  Тогда интервал варьирования R ("размах") будет равен R= Длину интервала рассчитывают по формуле:

 (1)

При этом значение признака, находящегося на границе интервалов относят к правой границе интервала.
На практике считают, что правильно составленный ряд распределения содержит от 6 до 15 частичных интервалов. 
Часто интервальный вариационный ряд заменяют дискретным вариационным рядом, выбирая средние значения интервала (таблица №7). 
Для данного примера , округлим до 3, т.е. размер интервала h=3, а число интервалов будет равно 14. 
Соответствующий интервальный вариационный ряд приведён в таблице №5.

Таблица 5 "Интервальный вариационный ряд"
Индекс интервала
i	Число покупателей
(интервалы)
	Частота
	Относительная частота
	
1	148-151	1	1/200	
2	151-154	0	0	
3	154-157	5	5/200	
4	157-160	7	7/200	
5	160-163	21	21/200	
6	163-166	38	38/200	
7	166-169	39	39/200	
8	169-172	38	38/200	
9	172-175	21	21/200	
10	175-178	15	15/200	
11	178-181	8	8/200	
12	181-184	3	3/200	
13	184-187	3	3/200	
14	187-190	1	1/200	

=1

2) После составления вариационного ряда необходимо построить функцию распределения выборки или эмпирическую функцию F* (x) =, то есть функцию найденную опытным путём. Здесь  - относительная частота события Х< х, n - общее число значений.
Эмпирическое распределение можно изобразить в виде полигона, гистограммы или ступенчатой кривой.
Построим выборочную функцию распределения. Очевидно, что для  функция  так как . На концах интервалов значения функции  рассчитаем в виде "нарастающей относительной частоты" (таблица 6).

Таблица 6 "Расчёт эмпирической функции распределения"
Индекс интервала
i		
1	1/200	
2	1/200	
3	1/200+5/200=6/200	
4	6/200+7/200=13/200	
5	13/200+21/200=34/200	
6	34/200+38/200=72/200	
7	72/200+39/200=111/200	
8	111/200+38/200=149/200	
9	149/200+21/200=170/200	
10	170/200+15/200=185/200	
11	185/200+8/200=193/200	
12	193/200+3/200=196/200	
13	196/200+3/200=199/200	
14	199/200+1/200=200/200	

Табличные значения не полностью определяют выборочную функцию распределения непрерывной случайной величины, поэтому при графическом изображении её доопределяют, соединив точки графика, соответствующие концам интервала, отрезками прямой (рис.1).
Полученные данные, представленные в виде вариационного ряда, изобразим графически в виде ломаной линии (полигона), связывающей на плоскости точки с координатами , где  - среднее значение интервала , а  - относительная частота. (таблица 7 и рис.2). На этом же рисунке отобразим пунктирной линией выравнивающие (теоретические) частоты.

Таблица 7 “Дискретный вариационный ряд”
Номер интервала
i	Среднее значение интервала
	Относительная частота
	Выборочная
оценка плотности вероятности
	
1	149,5	0,005	0,002	
2	152,5	0	0	
3	155,5	0,025	0,008	
4	158,5	0,035	0,012	
5	161,5	0,105	0,035	
6	164,5	0, 19	0,063	
7	167,5	0, 195	0,065	
8	170,5	0, 19	0,063	
9	173,5	0,105	0,035	
10	176,5	0,075	0,025	
11	179,5	0,04	0,013	
12	182,5	0,015	0,005	
13	185,5	0,015	0,005	
14	188,5	0,005	0,002	

Рис.1

Рис.2

На основании полученных выборочных данных необходимо сделать предположение, что изучаемая величина распределена по некоторому определённому закону. Для того чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычисляют частоты полученных в наблюдениях значений, т.е. находят теоретически сколько раз величина Х должна была принять каждое из наблюдавшихся значений, если она распределена по предполагаемому закону. Для этого находят выравнивающие (теоретические) частоты по формуле:

 (2)

где n - число испытаний,
 - вероятность наблюдаемого значения , вычисленная при допущении, что Х имеет предполагаемое распределение.
Эмпирические (полученные из таблицы) и выравнивающие частоты сравнивают, и при небольшом расхождении данных делают заключение о выбранном законе распределения. Предположим, что случайная величина Х распределена нормально (см. комментарии к задаче № 4). В этом случае выравнивающие частоты находят по формуле:

 (3)

где n-число испытаний,
h-длина частичного интервала,
-выборочное среднее квадратичное отклонение,

 ( - середина i - го частичного интервала)
 - функция Лапласа (4)

Результаты вычислений отобразим в таблице №8.
Сравнение графиков (рис.2) наглядно показывает близость выравнивающих частот к наблюдавшимся и подтверждает правильность допущения о том, что обследуемый признак распределён нормально.

Таблица 8 "Расчёт выравнивающих частот"

	
149,5
152,5
155,5
158,5
161,5
164,5
167,5
170,5
173,5
176,5
179,5
182,5
185,5
188,5	-19,5
16,5
13,5
10,5
7,05
4,05
1,05
1,95
4,95
7,95
10,95
13,95
16,95
19,95	-3
2,53
2,06
1,59
1,11
0,64
0,17
0,31
0,78
1,25
1,73
2,2
2,67
3,15	0,004
0,02
0,048
0,11
0,22
0,33
0,396
0,38
0,3
0,18
0,09
0,04
0,011
0,003	0,42
1,55
4,54
10,68
20,37
31,0
37,48
36,0
28,0
17,34
8,44
3,37
1,06
0,26	1
2
5
11
20
31
37
36
28
17
8
3
1
0	0,05
0,01
0,025
0,055
0,1
0,155
0,185
0,18
0,14
0,085
0,04
0,015
0,005
0	

Интервальный вариационный ряд графически изобразим в виде гистограммы (рис.3). На оси Х отложим интервалы длиной h=3, а на оси Y значения ,расчёт которых представлен в таблице №7. Площадь под гистограммой равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.
Графическое изображение вариационных рядов в виде полигона и гистограммы позволяет получать первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в совокупности наблюдений.

Рис.3

3) Найдём числовые характеристики вариационного ряда, используя таблицу №4.
Выборочная средняя ():

или , (5)

где  - частоты,
а -объём выборки. Выборочная средняя является оценкой математического ожидания (среднего значения теоретического закона распределения).
В некоторых случаях  удобнее рассчитать с помощью условных вариант. В нашем случае варианты  - большие числа, поэтому используем разность:

 (6)

где С - произвольно выбранное число (ложный нуль). В этом случае

. (7)

Для изменения значения варианты можно ввести также условные варианты путём использования масштабного множителя:

, (8)

где  (b выбирается положительным или отрицательным числом).

. 

Здесь С - середина 8-го интервала.
Выборочная дисперсия ():

 (9)

 также может быть рассчитана с помощью условных вариант:

 (10)
= (1*441+0*324+…+1*324) - 1,95²=40,21

Среднеквадратическое отклонение:

 = (11)
==6,34

Найдем несмещённую оценку дисперсии и среднеквадратического отклонения ("исправленную" выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение) по формулам:

и  (12)
==40,41 и S=6,34=6,36

Доверительный интервал для оценки математического ожидания с надёжностью 0,95 определяют по формуле:

P (-tФ (t) = (13)

Из соотношения Ф (z) =/2 вычисляют значение функции Лапласа: Ф (z) =0,475. По таблице значений функции Лапласа (Приложение А) находят z=1,96. Таким образом,

168,55-1,96,
167,67<a<169,43.

Доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения случайной величины находят по формуле:

, (14)

где S - несмещённое значение выборочного среднего квадратичного отклонения;
q - параметр, который находится по таблице (Приложение В) на основе известного объёма выборки n и заданной надёжности оценки .
На основании данных значений =0,95 и n=200 по таблице (Приложение В) можно найти значение q=0,099. Таким образом,

,
5,79<
V= (15)

4) Проведём статистическую проверку гипотезы о нормальном распределении. Нормальный закон распределения имеет два параметра (r=2): математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. По выборочным данным (таблицы 5 и 7) полученные оценки параметров нормального распределения, вычисленные выше:

 , , S=6,36.

Для расчёта теоретических частот  используют табличные значения функции Лапласа Ф (z). Алгоритм вычисления  состоит в следующем:
-	по нормированным значениям случайной величины Z находят значения Ф (z), а затем :

, =0,5+Ф (). 
Например,
; ; Ф (-3,0) =-0,4987;
;

далее вычисляют вероятности =P (;
-	находят числа , и если некоторое <5, то соответствующие группы объединяются с соседними.
Результаты вычисления , , и  приведены в таблице 9.
По формуле

= (27)

можно сделать проверку расчетов.

По таблице (приложения Г) можно найти число  по схеме: для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы l=k-r-1=9-2-1=6=12,6. Следовательно, критическая область - (12,6; ). Величина =15,61 входит в критическую область, поэтому гипотеза о том, что случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения, отвергается.
При α=0,1 =10,6. Критическая область - (10,6; ). Величина =15,61 также входит в критическую область и гипотеза о нормальном законе распределения величины Х отвергается.
При α=0,01 =16,8, (16,8; ). В этом случае нет оснований отвергать гипотезу о нормальном законе распределения.

Таблица 9 "Определение "
i			Ф () 						
0	
149,5	0	-0,500	0,000	0,0013	0,0013	0,26	-	
1	149,5
152,5	1	-0,449	0,0013	0,0059	0,0046	0,92	-	
2	152,5
155,5	0	-0,494	0,0059	0,02	0,014	2,8	-	
3	155,5
158,5	5	-0,48	0,02	0,057	0,037	7,4	2,54	
4	158,5
161,5	7	-0,44	0,057	0,134	0,077	15,4	4,58	
5	161,5
164,5	21	-0,37	0,134	0,26	0,126	25,2	0,7	
6	164,5
167,5	38	-0,24	0,26	0,433	0,1725	34,5	0,36	
7	167,5
170,5	39	-0,07	0,433	0,62	0,188	37,6	0,06	
8	170,5
173,5	38	0,12	0,62	0,78	0,16	32	1,125	
9	173,5
176,5	21	0,28	0,78	0,89	0,11	22	0,045	
10	176,5
179,5	15	0,39	0,89	0,96	0,07	14	0,071	
11	179,5
182,5	8	0,46	0,96	0,99	0,03	6	6,125	
12	182,5
185,5	3	0,49	0,99	0,996	0,006	1,2	-	
13	185,5
188,5	3	0,496	0,996	0,999	0,003	0,6	-	
14	188,5
	1	0,5	0,999	1,0	0,001	0,2	-	

 ,0000 

2 часть
1) Данные таблицы №3 сгруппируем в корреляционную таблицу №10.
2) Строим в системе координат множество, состоящее из 200 экспериментальных точек (рисунок 4).
По расположению точек делаем заключение о том, что экономико-математическую модель можно искать в виде .
3) Найдём выборочные уравнения линейной регрессии.
Для упрощения расчётов разобьём случайные величины на интервалы и выберем средние значения. Для величины Х указанные действия были выполнены в 1 части задания.

Таблица 10 “Корреляционная таблица”
	105	100	99	98	97	96	95	94	93	92	91	90	89	88	87	86	85	84	83	82	81	80	79	
Y/X	
1															1									148	
1																1								155	
2														1			1							156	
2												1								1				157	
1											1													158	
3																1			1		1			159	
3															1		1		1					160	
6											1			1				2		1			1	161	
6		1						1		1		1	1									1		162	
9									1	1	2		1	3								1		163	
15					1						2	2	3		1	1	1	3	2					164	
15								4	1		2			1	4		1	1						165	
8													2	1	1			3		1				166	
14										1	2	1	3	2		1	3				1			167	
10									2	1		1		2	1				1	1	1			168	
15										2	5		1	2	3				1				1	169	
15						1	1		1	1	3	4		2		1					1			170	
11					1			1		1	3	1	2				1		1					171	
12			2	1		1		1			2	1	1	1	1					1				172	
9						1					1	3	2		1			1						173	
6					1	1					1	1		1		1								174	
6							1				1	2	1				1							175	
10							1		3	1		1		1	1	1				1				176	
1															1									177	
4											1	2	1											178	
3			1														2							179	
3				1								1					1							180	
2										1			1											181	
1												1												182	
1												1												183	
1				1																				184	
1											1													185	
1										1						1								186	
1																								187	
1	1																							190	
200	1	1	3	3	3	4	3	7	8	11	28	24	19	18	17	7	12	10	7	6	4	2	2		

Рис.4

Для случайной величины Y, используя (1), получим h=2, число интервалов равно 13. Результаты внесём в таблицу со сгруппированными данными №11.
Находим средние значения , по формулам:

, (28)
, (29)
, (30)
. (31)

149,5*86+155,5 (82+…+90) +…+188,5*104=2986101

Используя формулы:

, (32)
, (33)

Получим

=,=

Таблица 11 "Сгруппированные данные выборки"
№		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14		
	XY	149,5	152,5	155,5	158,5	161,5	164,5	167,5170,5173,5	170,5	173,5	176,5	179,5	182,5	185,5	188,5		
1	80				1	3		3	1							8	
2	82			1	2	1	3	3	2		1					13	
3	84			1	1	2	9	3	1	2		3				22	
4	86	1		1	2		7	5	1	1	3			1		24	
5	88			1		6	7	10	6	4	2	1				37	
6	90			1	1	4	6	9	14	9	4	1	2	1		52	
7	92					3	1	6	3		4	1		1		19	
8	94					1	4		3	1	1					10	
9	96						1		3	3						7	
10	98								3			2	1			6	
11	100					1										1	
12	102																
13	104														1	1	
		1		5	7	21	38	39	38	21	15	8	3	3	1	200	

4) Вычисляем выборочный коэффициент корреляции  по формуле:

. (34)
=

Принято считать, что если 0,1<<0,3 - связь слабая, если 0,3<<0,5 - связь умеренная, если 0,5<<0,7 - связь заметная, если 0,7<<0,9 - связь высокая, если 0,9<<0,99 - связь весьма высокая. Для данного примера связь между X и Y умеренная. Затем получают выборочное уравнение линейной регрессии Y на X в виде:

 (35)

и выборочное уравнение линейной регрессии X на Y:

. (36)
 и

 или

Вычисления сумм рекомендуем проводить с помощью пакетов прикладных математических программ (сегодня их существует много).

5. Контрольные задания №№1-4

Вариант 1.
1. Фирма имеет три источника поставки комплектующих - фирмы А, В и С. На долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В - 30% и С - 20%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей бракованные, фирмой В - 5% и фирмой С - 6%.
1)	Какова вероятность, что взятая наугад деталь была получена от фирмы А?
2)	Какова вероятность, что взятая наугад и оказавшаяся бракованной деталь получена от фирмы А?
2. Накануне выборов 40% населения поддерживают "Партию квадратов", 40% - "Партию Кругов" и 20% еще не определились во мнении. Какова вероятность того, что, по крайней мере, половина из шести наудачу выбранных избирателей оказывают доверие "Партии квадратов"?
3. Имеется 8 изделий, из которых 3 дефектных. Для контроля взято наудачу 3 изделия. Случайная величина Х - число дефектных изделий в выборке.
1)	Составить таблицу распределения Х.
2)	Найти математическое ожидание M (X) и дисперсию D (Х).
3)	Построить график функции распределения y = F (x)
4)	Найти вероятность P (0,5<X<3).
4. Фирма "Клубок ниток" производит вязальные спицы. Наиболее популярны размеры

	Диаметр (мм) 	Точность (мм) 	
Номер 10	3.25	± 0.125	
Номер 11	3.00	± 0.125	
Номер 12	2.75	± 0.125	

"Клубок" производит нарезку игл из проволоки и их дальнейшую обработку. В результате чего средний диаметр заготовок становится 3.10 мм, а его среднее квадратическое отклонение 0.10 мм. Допустим, значение диаметра подчиняется закону нормального распределения. Требуется определить долю заготовок, пригодных для производства спиц №11, учитывая, что дальнейшая обработка не изменяет диаметр заготовок.
Вариант 2.
1. В центральную бухгалтерию корпорации поступили пачки накладных для проверки и обработки.90% пачек были признаны удовлетворительными: они содержали только 1% неправильно оформленных накладных. Остальные 10% пачек накладных были признаны неудовлетворительными, так как содержали 5% неправильно оформленных накладных. Взятая наугад из пачки накладная оказалась оформленной неправильно. Учитывая это, какова вероятность того, что вся пачка накладных будет признана не соответствующей стандартам?
2. На курсах повышения квалификации бухгалтеров учат определять правильность накладной. В качестве проверки преподаватель предлагает слушателям проверить 10 накладных, 4 из которых содержат ошибки. Он берет наудачу из этих десяти три накладные и просит проверить. Какова вероятность того, что одна из них окажется ошибочной, а две других - нет? Что все три окажутся правильными?
3. Вероятность досрочно сдать экзамен на "5" для каждого из четырех сдающих студентов равна 0,6. Случайная величина Х - число студентов (из этих четырех), сдавших этот экзамен на "5".
1)	Составить таблицу распределения Х.
2)	Найти математическое ожидание M (X) и дисперсию D (Х).
3)	Построить график функции распределения y = F (x)
4)	Найти вероятность P (0,5<X<3).
4. Считая, что Х - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М (Х), D (X), P ().
Вариант 3.
1. Нефтяная компания, изучив данные геологоразведки, оценивает вероятность обнаружения нефти в некотором районе как 0,3. Из предыдущего опыта подобных работ известно, что если нефть действительно должна быть обнаружена, первые пробные бурения дают положительные образцы с вероятностью 0,4. Если оказалось, что первые бурения дали отрицательный результат, какова вероятность того, что нефть, тем не менее, будет обнаружена в данном районе?
2. Число дефектов в изделии может быть любым - 1, 2, 3, 4 и т.д. По оценке компании вероятность отсутствия дефекта составляет 0,9, а вероятность наличия одного дефекта - 0,05. Какова вероятность, что в изделии не больше, чем один дефект?
3. В программе экзамена 45 вопросов, из которых студент знает 30. В билете 3 вопроса. Случайная величина Х - число вопросов билета, которые знает студент.
1)	Составить таблицу распределения Х.
2)	Найти математическое ожидание M (X) и дисперсию D (Х).
3)	Построить график функции распределения y = F (x)
4)	Найти вероятность P (0,5<X<3).
4. Ошибка измерения высоты полета гидрометеорологического спутника относительно наземной станции подчинена нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю и средним квадратическим отклонением, равным 1 км. Ошибка принимает отрицательное значение, если измеряемая высота слишком мала и положительное значение, если измеряемая высота слишком велика. Найти вероятность того, что а) ошибка будет больше чем +0.75 км; б) значение ошибки будет заключено в пределах между + 0.10 км и + 0.60 км; в) ошибка будет меньше чем - 1.25 км.
Число дефектов в изделии может быть любым - 1, 2, 3, 4 и т.д. По оценке компании вероятность отсутствия дефекта составляет 0,9, а вероятность наличия одного дефекта - 0,05. Какова вероятность, что в изделии не больше, чем один дефект?
Вариант 4.
1. Среди студентов некоторой группы 2/5 юноши и 3/5 девушки. Половина студентов - юношей данной группы моложе 21 года, среди студенток - девушек моложе 21 года - 2/3. Чему равна вероятность того, что 1) случайно выбранный учащийся старше 21 года и 2) случайно выбранный учащийся, возраст которого меньше 21 года, - это девушка.
2. Экзамен на водительские права по правилам дорожного движения содержит 20 вопросов с тремя вариантами ответов в каждом. Для сдачи экзамена необходимо ответить правильно как минимум на 19 вопросов. Если будущий водитель выбирает ответы, полагаясь исключительно на удачу, то какова для него вероятность сдать экзамен?
3. Бросают две игральные кости. Случайная величина Х - модуль разности числа выпавших очков.
1)	Составить таблицу распределения Х.
2)	Найти математическое ожидание M (X) и дисперсию D (Х).
3)	Построить график функции распределения y = F (x)
4)	Найти вероятность P (0,5<X<3).
4. Считая, что Х - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М (Х), D (X), P ().
Вариант 5.
1. Отдел закупок женского платья большого столичного торгового комплекса приобретает 20% своего товара у фабрики А, 30% у фабрики Б и оставшиеся 50% у разных мелких поставщиков. К концу сезона распродается 80% продукции фабрики А, 75% продукции фабрики Б и 90% продукции мелких поставщиков. Какова вероятность, что платье, оставшееся непроданным в конце сезона, было произведено на фабрике А?
2. Известно что 85% деревьев, высаживаемых фирмой "Флора-дизайн" приживается. Фирма получила заказ на озеленение внутреннего двора нового дома, в котором должна посадить 10 молодых берез. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока фирме придется заменить
а) три засохших саженца?
б) не более двух?
в) ни одного?
3. Зеленщик покупает персики большими партиями. Учитывая скоропортящийся характер товара, он допускает, что 15% фруктов будут подпорчены. Для проверки качества зеленщик выбирает 5 персиков. Случайная величина Х - число подпорченных фруктов среди выбранных.
1)	Составить таблицу распределения Х.
2)	Найти математическое ожидание M (X) и дисперсию D (Х).
3)	Построить график функции распределения y = F (x)
4)	Найти вероятность того, что зеленщик купит данную партию персиков, если для этого среди выбранных 5 персиков должно быть не более двух подпорченных.
4. Средний срок службы аккумуляторной батареи мобильного телефона нового поколения - 1000 часов, его среднее квадратическое отклонение 100 часов. Действует нормальный закон распределения. Найти вероятность того, что аккумуляторная батарея случайно выбранного мобильного телефона выйдет из строя а) через 1050 часов работы; б) через 750 часов; в) не ранее, чем через 850 часов, но не позднее, чем через 1150 часов.
Вариант 6.
1. Розничная сеть имеет три магазина. На долю главного магазина приходится 50% продаж, тогда как на долю двух пригородных магазинов - 30% и 20%. Процент магазинных краж для этих магазинов составляет 1%, 0,8% и 0,75% соответственно. Какова вероятность, что украденная вещь находилась в продаже в главном магазине сети?
2. Лист экзаменационного тестирования содержит 10 вопросов. На каждый вопрос предлагается 5 ответов, среди которых только один верный. Если студент выбирает ответы случайным образом, какова вероятность того, что правильными будут а) ровно половина ответов? б) не менее восьми ответов? в) не более одного?
3. Производятся независимые испытания трех приборов. Вероятности отказа для них 0,2, 0,3, 0,1 соответственно. Случайная величина Х - число отказавших приборов.
1)	Составить таблицу распределения Х.
2)	Найти математическое ожидание M (X) и дисперсию D (Х).
3)	Построить график функции распределения y = F (x)
4)	Найти вероятность P (0,5<X<3).
4. Считая, что Х - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М (Х), D (X), P (0<X<5).
Вариант 7.
1. На курсах повышения квалификации бухгалтеров учат определять правильность накладной. В качестве проверки преподаватель предлагает слушателям проверить 10 накладных, 4 из которых содержат ошибки. Он берет наугад накладную и просит проверить. При условии того, что обучающийся идентифицирует неправильную накладную с вероятностью 0.8, а правильную накладную признает ошибочной с вероятностью 0,05, чему равна вероятность того, что выбранная накладная - ошибочная.
2. Исследование ископаемых частиц пыльцы растений, найденных в разных слоях донных осадков большого озера, обычно дает информацию о типичной растительности, окружавшей озеро в то время, когда формировался данный слой. Доля частиц пыльцы хвойных деревьев в донных осадках составляет 0.6. Если на анализ поступили 10 частиц пыльцы, какова вероятность того, что а) ровно пять, б) не более двух из них окажутся принадлежащими хвойным деревьям?
3. Обрыв произошел равновероятно на одном из 5 звеньев телефонной линии. Монтер обследует их последовательно до обнаружения обрыва. Случайная величина Х - число обследованных звеньев.
1)	Составить таблицу распределения Х.
2)	Найти математическое ожидание M (X) и дисперсию D (Х).
3)	Построить график функции распределения y = F (x)
4)	Найти вероятность P (0,5<X<3).
4. Пилорама "Стружкин и компания" производит и продает сухие доски. Наиболее популярные размеры дюймовой осиновой шлифованной доски

	Длина (м) 	Точность (м) 	
Номер 4	3.25	± 0.125	
Номер 5	3.00	± 0.125	
Номер 6	2.75	± 0.125	

На пилораме сушат сырые доски, после чего шлифуют их. Средний размер поступающих сырых досок (заготовок) 3м 10см, его среднее квадратическое отклонение 10см. Допустим, длина заготовок подчиняется закону нормального распределения. Требуется определить долю заготовок, пригодных для производства досок №5, учитывая, что сушка и шлифовка не изменяют длины заготовок, и дальнейшая обработка не включает распил досок по длине.
Вариант 8.
1. В школе обучается одинаковое количество мальчиков и девочек. У восьмидесяти процентов девочек и у тридцати процентов мальчиков длинные волосы. Какова вероятность того, что случайно выбранный ученик с длинными волосами - мальчик?
2. Вероятность того, что пенициллин вылечит бактериальную инфекцию определенного типа, равна 75%. В течение небольшой эпидемии терапевт назначил антибиотик 8 больным. Какова вероятность того, что по крайней мере 6 из них вылечатся?
3. Банк предполагает разместить свободные средства. Менеджер отдела инвестиций должен выбрать один из трех инвестиционных проектов: А, В или С. Финансово-аналитический отдел подготовил экспертную информацию по этим проектам. Специалисты оценили возможные размеры доходов и соответствующие им вероятности. Считая доход по проекту А случайной величиной Х, по проекту В случайной величиной У и по проекту С Z, выбрать один из трех проектов, обосновать выбор с точки зрения ожидаемого дохода и рискованности инвестиции. Для выбранного проекта
1)	Построить график функции распределения y = F (x) соответствующей случайной величины.
2)	Найти вероятность того, что инвестиция окажется убыточной или не принесет никакого дохода.

Х	-500	-200	100	400	700	
р	0.1	0.25	0.3	0.25	0.1	
У	-100	0	100	200	300	
р	0.1	0.25	0.3	0.25	0.1	
Z	-500	-200	100	400	700	
р	0.01	0.025	0.93	0.025	0.01	

4. Считая, что Х - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М (Х), D (X), P ().
Вариант 9.
1. Предприниматель производит одинаковые детали на двух производственных линиях. Две пятых продукции сходит со старой линии, при этом 10% выпуска признается браком. Остальные три пятых продукции производятся на новейшей линии, для которой процент брака равен лишь 4%. Какова вероятность того, что оказавшаяся бракованной деталь была выпущена на старой производственной линии?
2. Известно, что 60% щенков собак определенной породы имеют черные глаза. Цвет глаз одного щенка не зависит от цвета глаз другого. Какова вероятность того, что в помете из девяти щенков по крайней мере одна треть будет иметь черные глаза?
3. Студенты Артемов и Белов стоят в очереди в раздевалку. Всего в очереди 6 человек. Случайная величина Х - число студентов, стоящих между ними.
1)	Составить таблицу распределения Х.
2)	Найти математическое ожидание M (X) и дисперсию D (Х).
3)	Построить график функции распределения y = F (x)
4)	Найти вероятность P (0,5<X<3).
4. Считая, что Х - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М (Х), D (X), P (-10<X<3).
Вариант 10
1. Фирма собирается выпускать новый товар на рынок. Подсчитано, что вероятность хорошего сбыта продукции равна 0.6; плохого - 0.4. Компания собирается провести маркетинговое исследование, вероятность правильности которого 0.8. Как изменятся первоначальные вероятности уровня реализации, если это исследование предскажет плохой сбыт?
2. Испорченный консервный аппарат неправильно запечатывает банку крышкой в одном случае из шести. Если инспектор выберет случайным образом 2 банки вышедшие из этого испорченного аппарата для проверки, какова вероятность, что поломка останется незамеченной? Если выбраны для проверки 4 банки, какова вероятность того, что по крайней мере 2 из них будут иметь плохие крышки?
3. Частный предприниматель сдает в наем 4 автомобиля. Средний спрос в будний день составляет 2 автомобиля. В году 312 будних дней. Определить вид распределения случайной величины Х - числа автомобилей, востребованных в течение буднего дня. Найти математическое ожидание и дисперсию Х. Построить график функции распределения y=F (x) для значений х≤5. Найти число будних дней, в течение которых спрос превысит предложение (дробное число округлить в большую сторону).
4. На автозаправочной станции показания автомата округляются до ближайшего целого числа литров бензина. Считая ошибку округления распределенной равномерно, найти математическое ожидание и дисперсию ошибки показания автомата. Найти вероятность того, что очередной клиент недополучит от 0,1 л до 0,3 л бензина.
Вариант 11.
1. Согласно оценке эксперта участок земли близ населенного пункта N окажется нефтеносным с вероятностью 0.2 и пустым с вероятностью 0.8. Потенциальный инвестор решил заказать дополнительное исследование. Нефтедобывающая компания, организующая это специфическое исследование, оценивает в 90% надежность подтверждения нефти в том случае, когда нефть есть, и в 70% надежность отрицания наличия нефти если нефти нет. Найти вероятности нефтеносности участка 1) в случае подтверждающего нефть результата исследования;
2) в случае отрицающего нефть результата исследования.
2. Совет директоров компании состоит из трех бухгалтеров, трех менеджеров и двух инженеров. Планируется создать подкомитет из его членов. Какова вероятность того, что все трое в этом подкомитете будут бухгалтеры?
3. Известно что 20 % собранных шампиньонов контроль отправляет на переработку в консервное производство. На конвейер поступили пять грибов. Случайная величина Х - количество шампиньонов (из этих пяти штук), отправленных в переработку. Определить тип распределения случайной величины.
а) Составить таблицу распределения Х.
б) Найти математическое ожидание M (X) и дисперсию D (Х).
в) Построить график функции распределения y = F (x)
г) Найти вероятность P (X>3).
4. Известно, что до реорганизации телефонной сети большого города средний срок оплаты квитанций за междугородние, международные разговоры составлял 45 дней со средним квадратическим отклонением 10 дней. Найти вероятность того, что квитанция, оформленная 1 апреля, будет оплачена а) между 13 мая и 18 мая; б) не позднее 25 мая.
Вариант 12.
1. Большая корпорация проводит набор стажеров менеджеров, 30% которых имеют университетское образование.45% набранных стажеров в конце концов получают позицию менеджера в корпорации. Однако процент работников, достигших уровня менеджера, среди стажеров с университетским образованием равен 70%. Какова вероятность того, что менеджер, получивший свою позицию через корпоративную стажировку, имеет университетское образование?
2. В отделе внешних связей фирмы имеется восемь заказов на отправку товара: пять - внутри страны, а три - на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны?
3. Экспериментальная лаборатория института растениеводства получила семена редкого вида пшеницы. Всхожесть семян составляет 80 %. Случайная величина Х - число взошедших семян среди пяти посаженных. Определить тип распределения случайной величины.
а) Составить таблицу распределения Х.
б) Найти математическое ожидание M (X) и дисперсию D (Х).
в) Построить график функции распределения y = F (x)
г) Найти вероятность P (X<3).
4. Упаковочный аппарат расфасовывает стиральный порошок в пакеты, средний вес которых 930 гр., а среднеквадратическое отклонение - 20 гр. Какая доля пакетов будет иметь вес до 900 гр.? Если требуется, чтобы не более чем 2.5% пакетов содержали меньше, чем 900 гр., то как должна быть переналажена машина, чтобы соответствовать этому требованию?
Вариант 13.
1. Вероятность того, что после прохождения собеседования претендент на должность в некоторой фирме все еще хочет поступить на работу, равна 0.8, тогда как вероятность того, что фирма желает нанять претендента, равна 0.4. Среди претендентов, которых фирма желает нанять на работу, 90% лиц сохраняет намерение работать после прохождения собеседования. Какова вероятность того, что претендент, который все еще хочет поступить на работу, будет нанят фирмой?
2. Небольшая британская компания выпускает гайки и болты, размеры которых задаются в стандартной британской и в метрической системах мер. Однажды коробка с пятнадцатью 20-мм болтами опрокинулась в ящик с тридцатью дюймовыми болтами, а коробка с пятнадцатью 20-мм гайками - в ящик с тридцатью дюймовыми гайками. Какова вероятность, что взятые наудачу болт и гайка подойдут друг к другу?
3. Система выборочного контроля качества подвергает усиленной проверке 20 % автомобилей, сошедших с заводского конвейера. С конвейера сошли пять автомобилей. Случайная величина Х - число автомобилей, прошедших усиленный контроль. Определить тип распределения случайной величины.
а) Составить таблицу распределения Х.
б) Найти математическое ожидание M (X) и дисперсию D (Х).
в) Построить график функции распределения y = F (x)
г) Найти вероятность P (X<2).
4. Считая, что Х - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М (Х), D (X), P (-3<X<0).
Вариант 14.
1. Предприниматель покупает некоторую комплектующую деталь у двух поставщиков: А и В. За определенный период времени фирма использует 20000 таких деталей, причем 6000 из них приходит от поставщика А. Процент брака для продукции поставщика А равен 3%, В 1.5%. Найти вероятность того, что данная бракованная деталь была куплена у поставщика А.
2. Банковский менеджер знает по собственному опыту, что в среднем 10% клиентов, оформивших в банке заем, задерживают выплаты по графику возврата денег. Вчера менеджер подписал документы на 7 займов. Какова вероятность того, что
а) ни один из 7 заемщиков не будет задерживать свои выплаты?
б) один из них будет задерживать выплаты?
в) как минимум двое из них будут нарушать график выплат?
3. Случайная величина Х - сумма цифр выбранного наудачу двузначного числа (от 10 до 49).
а) Составить таблицу распределения Х.
б) Найти математическое ожидание M (X) и дисперсию D (Х).
в) Построить график функции распределения y = F (x)
г) Найти вероятность P (4,5<X<10).
4. Срок работы электрических компонент подчиняется нормальному распределению со средней продолжительностью работы 80 ч. и среднеквадратическим отклонением - 30 ч. а) Допустим, производитель решил заменить все компоненты, которые вышли из строя до гарантийного срока работы, составляющего 45 ч. Какую долю общего выпуска составит эта часть продукции?
б) Допустим, производитель решил заменить только 10% общего выпуска, т.е. компоненты с самым коротким сроком работы. Какой гарантийный срок работы он должен назначить, чтобы выполнить это условие?
Вариант 15.
1. Среди мужского населения небольшого города Наукограда в возрасте от 30 до35 лет, 25% жителей имеют университетский диплом, зарплата у 15% жителей-мужчин указанной возрастной категории выше средней, и 65% не имеют университетского диплома и их зарплата ниже средней. Какова вероятность того, что мужчина, случайно выбранный из этой возрастной группы, имеет зарплату выше средней, если а) у него университетское образование; б) нет университетского образования?
2. На прямом участке оживленного городского проспекта установлены четыре светофора, работающих независимо друг от друга. Вероятность проехать светофор без остановки в часы пик равна для каждого из них 0,3. С какой вероятностью курьер доставки товаров проследует три светофора без остановок.
3. Имеется 5 заготовок для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки равна 0,8. Случайная величина Х - число заготовок, оставшихся после изготовления первой годной детали.
1)	Составить таблицу распределения Х.
2)	Найти математическое ожидание M (X) и дисперсию D (Х).
3)	Построить график функции распределения y = F (x)
4)	Найти вероятность P (0,5<X<3).
4. Считая, что Х - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М (Х), D (X), P (1.5<X<3).
Вариант 16.
1. За последний период времени 500 автомобилей было возвращено на автомобильный завод из-за наличия дефектов, причем 100 из них были выпущены в понедельник, 100 во вторник, 100 в среду, 100 в четверг и 100 в пятницу. Оказалось, что 40 автомобилей нуждаются в устранении серьезных неполадок, возникших в течение гарантийного периода. Среди автомобилей, выпущенных в пятницу, 15 имеют серьезные неполадки. Являются ли события А="автомобиль был выпущен в пятницу" и В="автомобиль имеет серьезные неполадки" независимыми? Сравнить вероятности Р (В) и Р (В/А).
2. Известно, что 40% пациентов, у которых выявлено некоторое заболевание "альфа", должны сделать операцию. В палате находятся четверо больных, которым недавно поставлен диагноз "альфа". Какова вероятность того, что операцию сделает только один из них (все равно кто именно)?
3. Банк предполагает разместить свободные средства. Менеджер отдела инвестиций должен выбрать один из трех инвестиционных проектов: А, В или С. Финансово-аналитический отдел подготовил экспертную информацию по этим проектам. Специалисты оценили возможные размеры доходов и соответствующие им вероятности. Считая доход по проекту А случайной величиной Х, по проекту В случайной величиной У и по проекту С Z, выбрать один из трех проектов, обосновать выбор с точки зрения ожидаемого дохода и рискованности инвестиции. Для выбранного проекта
1) Построить график функции распределения y = F (x) соответствующей случайной величины.
2) Найти вероятность того, что инвестиция окажется убыточной или не принесет никакого дохода.

Х	-500	-200	200	600	900	
р	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1	
У	-100	100	200	300	500	
р	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1	
Z	-500	-200	200	600	900	
р	0.015	0.035	0.9	0.035	0.015	

4. Считая, что Х - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М (Х), D (X), P (-2<X<3).
Вариант 17.
1. Подброшены две игральные кости. Событие А сумма выпавших очков равна 9, событие В разность выпавших очков равна 1. Зависимы ли события А и В? Объяснить почему (подтвердить вычислениями).
2. Магазин получает товар партиями по 100 штук. Если пять взятых наудачу образцов соответствует стандартам, партия товара поступает на реализацию. В очередной партии восемь единиц товара с дефектом. Какова вероятность того, что товар поступит на реализацию?
3. Вероятность, что покупателю потребуется обувь 42 размера, равна 0,3. В магазине 3 покупателя. Случайная величина Х - число покупателей, находящихся в магазине, которым требуется обувь 42 размера.
1)	Составить таблицу распределения Х.
2)	Найти математическое ожидание M (X) и дисперсию D (Х).
3)	Построить график функции распределения y = F (x)
4)	Найти вероятность P (0,5<X<3).
4. Автоматический токарный станок настроен на выпуск деталей со средним диаметром 2.00 см и со средним квадратическим отклонением 0.005 см. Действует нормальный закон распределения. Компания технического сервиса рекомендует остановить станок для технического обслуживания и корректировки в случае, если образцы деталей, которые он производит, имеют средний диаметр более 2.01 см, либо менее 1.99 см.
1)	Найти вероятность остановки станка, если он настроен по инструкции на 2.00 см.
2)	Если станок начнет производить детали, которые в среднем имеют слишком большой диаметр, а именно, 2.02 см, какова вероятность того, что станок будет продолжать работать?
Вариант 18.
1. Из трех бухгалтеров, восьми менеджеров и шести аналитиков необходимо с помощью случайного выбора сформировать комитет, состоящий из десяти человек. Какова вероятность того, что в комитете окажутся: один бухгалтер, пять менеджеров и четверо аналитиков?
2. В среднем 25% взрослого населения некоторого большого города смотрит популярное телевизионное шоу. Какова вероятность того, что среди восьми случайно выбранных взрослых людей шоу смотрит трое или больше?
3. Курс междуреченского доллара меняется еженедельно. Сегодня он равен 87 рублям. Через неделю он может увеличиться на 2 рубля с вероятностью 0,2, уменьшиться на 2 рубля с вероятностью 0,3 либо остаться неизменным. Случайная величина Х - курс междоллара через две недели.
1)	Составить таблицу распределения Х.
2)	Найти математическое ожидание M (X) и дисперсию D (Х).
3)	Построить график функции распределения y = F (x)
4)	Найти вероятность P (84,5<X<88).
4. Считая, что Х - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М (Х), D (X), P ().
Вариант 19.
1. Три мяча выбирают случайным образом из коробки, содержащей 5 белых, 6 красных и 4 желтых мяча. Найти вероятность того, что
а) все три мяча красные;
б) все три мяча разные по цвету;
в) все три мяча одинаковые по цвету.
2. Двух - или четырехмоторный аэроплан может оставаться в воздухе до тех пор, пока функционирует половина его двигателей. Чему равна вероятность падения каждого из типов аэропланов, если вероятность любой поломки двигателя составляет 0,001?
3. Банк предполагает разместить свободные средства. Менеджер отдела инвестиций должен выбрать один из трех инвестиционных проектов: А, В или С. Финансово-аналитический отдел подготовил экспертную информацию по этим проектам. Специалисты оценили возможные размеры доходов и соответствующие им вероятности. Считая доход по проекту А случайной величиной Х, по проекту В случайной величиной У и по проекту С Z, выбрать один из трех проектов, обосновать выбор с точки зрения ожидаемого дохода и рискованности инвестиции. Для выбранного проекта
1) Построить график функции распределения y = F (x) соответствующей случайной величины.
2) Найти вероятность того, что инвестиция окажется убыточной или не принесет никакого дохода.

Х	-800	-300	100	500	1000	
р	0.1	0.25	0.3	0.25	0.1	
У	-300	0	100	200	500	
р	0.1	0.25	0.3	0.25	0.1	
Z	-800	-300	100	500	1000	
р	0.01	0.025	0.93	0.025	0.01	

4. Рыночный торговец так настроил свои электронные весы, что показания стоимости покупки округляются до ближайшего целого числа рублей. Считая ошибку округления распределенной равномерно, найти математическое ожидание и дисперсию ошибки показания весов. Найти вероятность того, что торговец в результате округления недополучит от 20 до 35 копеек от очередного клиента.
Вариант 20.
1. В подразделение отряда космонавтов входят 12 человек, из них 7 уже были в космосе, а 5 еще нет. Для участия в проекте отбирают 4 кандидатов. Какова вероятность того, что по крайней мере у двоих из отобранных кандидатов уже есть космический опыт?
2. Консервный цех складирует продукцию в штабели по 500 штук. В некотором штабеле оказалось 150 нестандартных банок. Инспектор выбирает наудачу последовательно две банки. Какова вероятность того, что а) обе банки нестандартные; б) обе банки качественные?
3. На дне глубокого сосуда лежат спокойно 6 шаров - 2 белых и 4 черных. Случайная величина Х - число извлеченных без возвращения шаров до первого белого.
1)	Составить таблицу распределения Х.
2)	Найти математическое ожидание M (X) и дисперсию D (Х).
3)	Построить график функции распределения y = F (x)
4)	Найти вероятность P (0,5<X<3).
4. Считая, что Х - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М (Х), D (X), P ().
4.	КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ №5
Студенты, имеющие варианты с 1 по 10, выполняют задание №1, имеющие варианты с 11 по 20 - задание №2.
Задание №1
Отдел маркетинга крупной швейной фабрики провёл анкетирование 500 человек (женщин) по вопросу роста (Х) см и веса (Y) кг. В результате была выявлена следующая зависимость (таблица 2.2.1).

Таблица 2.2.1
N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	
X	168	169	156	171	175	159	167	169	170	156	168	169	
Y	73	68	56	75	66	60	60	68	68	54	62	56	
13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	
164	171	174	176	170	173	171	196	155	174	176	176	172	
66	66	64	81	61	69	62	60	61	66	75	60	70	
26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	
172	163	187	172	161	176	164	166	168	162	163	172	175	
67	59	84	70	60	70	60	63	55	55	65	65	64	
39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	
156	164	167	177	183	163	172	172	172	173	163	166	178	
54	70	63	67	73	63	69	60	63	67	66	57	69	
52	53	54	55	56	57	58	59	60	61	62	63	64	
169	171	165	175	171	186	165	164	163	173	173	177	173	
75	60	63	80	67	71	64	60	67	69	66	72	75	
65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	
156	172	160	176	171	169	163	163	172	178	166	164	171	
53	59	62	71	66	75	63	72	74	73	57	59	69	
78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	
163	163	182	163	169	164	164	170	176	163	179	176	182	
63	58	76	58	67	70	62	67	65	57	80	67	66	
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100	101	102	103	
169	159	169	165	165	167	173	170	170	169	164	177	173	
73	68	62	61	62	64	69	61	61	68	59	68	64	
104	105	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	116	
166	161	162	190	167	160	165	156	157	174	168	176	170	
63	66	66	80	59	62	76	59	60	69	58	72	65	
117	118	119	120	121	122	123	124	125	126	127	128	129	
173	168	164	164	172	173	173	165	167	173	184	163	179	
69	61	57	56	63	64	78	60	59	72	68	58	69	
130	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140	141	142	
161	162	158	171	177	164	166	171	174	170	174	169	174	
66	55	57	57	60	53	62	62	73	61	73	62	70	
143	144	145	146	147	148	149	150	151	152	153	154	155	
169	175	167	172	168	163	168	161	173	164	167	164	173	
71	67	63	64	63	65	67	56	66	62	68	63	70	
156	157	158	159	160	161	162	163	164	165	166	167	168	
176	172	167	173	161	171	169	161	170	174	168	164	170	
65	67	70	77	51	76	62	52	61	68	63	64	66	
169	170	171	172	173	174	175	176	177	178	179	180	181	
164	162	166	172	169	169	163	178	166	168	168	180	163	
60	60	62	67	64	57	65	80	55	59	64	69	60	
182	183	184	185	186	187	188	189	190	191	192	193	194	
165	163	158	171	175	170	165	184	169	167	167	179	165	
62	64	61	69	74	69	69	72	67	61	65	69	59	
195	196	197	198	199	200	201	202	203	204	205	206	207	
173	161	166	164	159	175	169	172	172	167	160	156	161	
69	60	67	59	55	67	68	73	64	64	59	52	61	
208	209	210	211	212	213	214	215	216	217	218	219	220	
174	167	174	167	168	168	167	167	171	168	162	174	173	
79	61	66	56	50	58	59	68	72	66	64	67	68	
221	222	223	224	225	226	227	228	229	230	231	232	233	
173	165	167	172	176	174	171	169	161	173	170	176	171	
71	68	62	66	72	74	70	62	56	69	74	70	65	
234	235	236	237	238	239	240	241	242	243	244	245	246	
166	167	156	167	166	167	173	169	176	168	163	169	164	
51	66	58	55	62	60	63	74	62	65	68	55	61	
247	248	249	250	251	252	253	254	255	256	257	258	259	
164	170	172	166	163	164	166	175	162	164	164	164	167	
60	63	72	57	65	56	62	64	60	61	65	66	64	
260	261	262	263	264	265	266	267	268	269	270	271	272	
170	161	174	165	171	166	172	170	180	164	184	168	172	
58	57	74	69	60	67	64	61	73	61	84	68	68	
273	274	275	276	277	278	279	280	281	282	283	284	285	
165	176	171	169	171	170	164	167	164	165	162	164	178	
63	70	67	70	63	60	57	65	62	60	53	61	80	
286	287	288	289	290	291	292	293	294	295	296	297	298	
159	171	169	169	178	180	167	164	170	165	181	170	173	
55	65	63	70	75	65	57	60	61	60	68	75	66	
299	300	301	302	303	304	305	306	307	308	309	310	311	
182	166	163	165	180	162	171	171	161	167	167	169	178	
75	67	58	57	75	54	73	72	59	59	61	64	72	
312	313	314	315	316	317	318	319	320	321	322	323	324	
164	171	168	177	161	172	154	170	167	162	168	168	173	
65	70	54	78	55	73	52	65	55	52	64	62	63	
325	326	327	328	329	330	331	332	333	334	335	336	337	
162	165	171	161	159	163	163	170	173	173	170	168	169	
65	57	64	62	54	63	61	76	65	69	66	67	64	
338	339	340	341	342	343	344	345	346	347	348	349	350	
175	161	171	171	169	170	171	166	171	169	177	158	167	
59	52	64	66	66	70	63	78	67	69	70	56	71	
351	352	353	354	355	356	357	358	359	360	361	362	363	
166	176	163	161	168	172	156	166	165	165	166	167	167	
63	65	63	51	60	78	54	61	72	56	55	63	63	
364	365	366	367	368	369	370	371	372	373	374	375	376	
171	165	160	157	165	166	157	165	165	160	166	168	186	
60	61	50	53	66	60	56	59	63	61	62	70	72	
377	378	379	380	381	382	383	384	385	386	387	388	389	
171	170	170	167	169	168	162	178	176	161	171	159	168	
65	73	65	65	61	64	56	66	78	56	70	57	70	
390	391	392	393	394	395	396	397	398	399	400	401	402	
167	178	169	163	169	170	187	174	162	165	164	173	162	
67	62	62	68	66	68	63	66	57	63	60	77	58	
403	404	405	406	407	408	409	410	411	412	413	414	415	
179	162	166	176	175	155	161	188	165	165	164	171	169	
63	65	63	70	77	51	64	75	61	67	59	64	59	
416	417	418	419	420	421	422	423	424	425	426	427	428	
171	163	171	172	165	170	173	169	169	167	162	170	175	
62	64	65	67	60	63	66	67	58	64	58	63	75	
429	430	431	432	433	434	435	436	437	438	439	440	441	
175	170	168	185	166	161	176	179	167	163	167	179	180	
69	65	55	82	58	63	67	71	63	54	57	78	76	
442	443	444	445	446	447	448	449	450	451	452	453	454	
166	171	163	180	179	176	164	168	174	170	162	157	157	
57	59	60	84	77	77	60	63	75	65	61	60	59	
455	456	457	458	459	460	461	462	463	464	465	466	467	
177	161	148	168	176	166	169	168	176	167	159	164	181	
72	55	48	66	70	71	62	67	70	75	48	53	77	
468	469	470	471	472	473	474	475	476	477	478	479	480	
165	171	159	174	160	169	167	170	161	174	178	168	168	
61	66	61	70	57	65	63	65	58	74	71	71	67	
481	482	483	484	485	486	487	488	489	490	491	492	493	
165	173	166	175	158	174	178	170	167	168	161	161	166	
55	65	55	78	57	65	60	62	61	70	66	60	64	
494	495	496	497	498	499	500	
169	164	181	165	171	169	168	
66	68	69	68	65	61	65	

Выполните задание 1-й и 2-й частей для приведённого примера и дайте интерпретацию полученных результатов.
Задание №2.
Получены статистические данные зависимости результатов измерения роста студентов (Х) от окружности груди (Y). Измерения проводились с точностью до 1 см. В результате была выявлена следующая зависимость (таблица 2.2.2).

Таблица 2.2.2
N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	
X	168	169	156	171	175	159	167	169	170	156	168	169	
Y	90	91	81	89	96	90	88	97	90	84	85	79	
N	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	
X	164	171	174	176	170	173	171	169	155	174	176	160	
Y	89	86	89	94	85	95	89	83	86	90	89	88	
N	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	
X	172	172	163	187	172	161	176	164	166	168	162	163	
Y	88	91	89	99	90	85	88	84	82	82	82	89	
N	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	
X	172	175	156	164	167	177	183	163	172	172	172	173	
Y	90	88	82	92	89	93	90	91	99	85	89	96	
N	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60	
X	163	166	178	169	171	165	175	171	186	165	164	163	
Y	86	86	89	91	80	93	95	97	92	93	89	91	
N	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	
X	173	173	177	173	156	172	160	176	171	169	163	163	
Y	89	84	92	90	88	82	87	87	83	88	88	94	
N	73	74	75	76	77	78	79	80	81	82	83	84	
X	172	178	166	164	171	163	163	182	163	169	164	164	
Y	99	103	85	87	90	93	88	90	88	87	91	85	
N	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	
X	170	176	163	179	176	182	169	159	169	166	165	167	
Y	96	82	91	99	93	95	96	91	92	87	87	89	
N	97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	108	
X	173	170	170	169	164	177	173	166	161	162	190	167	
Y	96	90	88	91	91	95	90	99	94	100	105	91	
N	109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120	
X	160	165	156	157	174	168	176	170	173	168	164	164	
Y	87	94	89	91	91	86	92	95	93	93	92	88	
N	121	122	123	124	125	126	127	128	129	130	131	132	
X	172	173	173	165	167	173	184	163	179	161	162	158	
Y	91	86	101	93	82	91	98	80	92	82	82	85	
N	133	134	135	136	137	138	139	140	141	142	143	144	
X	171	177	164	166	171	174	170	174	169	174	169	175	
Y	87	87	84	84	86	93	86	97	83	90	85	85	
N	145	146	147	148	149	150	151	152	153	154	155	156	
X	167	172	168	163	168	161	173	164	167	164	173	176	
Y	85	94	93	96	92	81	91	89	86	83	97	88	
N	157	158	159	160	161	162	163	164	165	166	167	168	
X	172	167	173	161	171	169	161	170	174	168	164	170	
Y	91	90	93	78	95	88	87	89	91	83	90	88	
N	169	170	171	172	173	174	175	176	177	178	179	180	
X	164	162	166	172	169	169	163	178	166	168	168	180	
Y	97	84	89	89	88	84	88	98	90	90	87	90	
N	181	182	183	184	185	186	187	188	189	190	191	192	
X	163	165	163	158	171	175	170	165	184	169	167	167	
Y	86	87	93	91	94	97	93	89	93	89	84	88	
N	193	194	195	196	197	198	199	200	201	202	203	204	
X	179	165	173	161	166	164	159	175	169	172	172	167	
Y	85	84	89	91	91	87	83	89	91	96	87	91	
N	205	206	207	208	209	210	211	212	213	214	215	216	
X	160	156	161	174	167	174	167	168	168	167	167	171	
Y	81	85	92	92	85	86	86	85	83	84	90	100	
N	217	218	219	220	221	222	223	224	225	226	227	228	
X	168	162	174	173	173	165	167	172	176	174	171	169	
Y	92	91	88	92	96	93	92	99	93	98	92	91	
N	229	230	231	232	233	234	235	236	237	238	239	240	
X	161	173	170	176	171	166	171	167	156	167	166	167	
Y	82	87	98	90	87	78	88	78	85	88	89	89	
N	241	242	243	244	245	246	247	248	249	250	251	252	
X	173	169	176	168	163	169	164	170	172	166	163	164	
Y	90	87	88	91	82	87	88	85	90	87	92	84	
N	253	254	255	256	257	258	259	260	261	262	263	264	
X	166	175	162	164	164	164	167	170	161	174	165	171	
Y	88	90	85	84	84	90	83	81	79	91	88	82	
N	265	266	267	268	269	270	271	272	273	274	275	276	
X	166	172	170	180	164	184	168	172	165	176	171	169	
Y	89	88	90	90	88	101	88	91	87	86	83	96	
N	277	278	279	280	281	282	283	284	285	286	287	288	
X	171	170	164	167	164	165	162	164	178	159	171	169	
Y	89	87	85	86	87	88	80	86	92	86	90	90	
N	289	290	291	292	293	294	295	296	297	298	299	300	
X	169	178	180	167	164	170	165	181	170	173	182	166	
Y	87	90	85	81	87	86	94	89	92	90	88	90	
N	301	302	303	304	305	306	307	308	309	310	311	312	
X	163	165	180	162	171	171	161	167	167	169	178	164	
Y	87	87	90	81	94	92	84	83	85	92	92	92	
N	313	314	315	316	317	318	319	320	321	322	323	324	
X	171	168	177	161	172	154	170	167	162	168	168	173	
Y	94	81	99	80	94	84	92	83	87	90	92	90	
N	325	326	327	328	329	330	331	332	333	334	335	336	
Х	162	165	171	161	159	163	163	170	173	173	170	168	
Y	89	84	91	85	81	88	93	96	95	90	92	88	
N	337	338	339	340	341	342	343	344	345	346	347	348	
X	169	175	161	171	171	169	170	171	166	171	169	177	
Y	87	88	81	91	91	91	90	88	94	90	89	94	
N	349	350	351	352	353	354	355	356	357	358	359	360	
X	158	167	166	176	163	161	168	172	156	166	165	165	
Y	85	95	96	87	84	83	81	98	85	82	93	91	
N	361	362	363	364	365	366	367	368	369	370	371	372	
X	166	167	167	171	165	160	157	165	166	157	165	165	
Y	84	89	85	84	94	85	82	90	88	88	87	91	
N	373	374	375	376	377	378	379	380	381	382	383	384	
X	160	166	168	186	171	170	170	167	169	168	162	178	
Y	83	87	92	92	85	91	90	90	90	84	85	87	
N	385	386	387	388	389	390	391	392	393	394	395	396	
X	176	161	171	159	168	167	178	169	163	169	170	187	
Y	96	87	90	80	97	91	91	90	86	90	88	86	
N	397	398	399	400	401	402	403	404	405	406	407	408	
X	174	162	165	164	173	162	179	162	166	176	175	155	
Y	86	85	85	84	95	82	88	92	88	95	95	85	
N	409	410	411	412	413	414	415	416	417	418	419	420	
X	161	168	165	165	164	171	169	171	163	171	172	165	
Y	83	98	86	94	94	89	82	90	88	90	94	89	
N	421	422	423	424	425	426	427	428	429	430	431	432	
X	170	173	169	169	167	162	170	175	175	170	168	185	
Y	93	85	92	82	85	90	84	91	90	91	90	91	
N	433	434	435	436	437	438	439	440	441	442	443	444	
X	166	161	176	179	167	163	167	179	180	166	171	163	
Y	85	90	87	84	87	88	85	85	98	86	85	89	
N	445	446	447	448	449	450	451	452	453	454	455	456	
X	180	179	176	164	168	174	170	162	157	157	177	161	
Y	92	92	93	83	89	96	90	86	90	82	93	84	
N	457	458	459	460	461	462	463	464	465	466	467	468	
X	148	168	176	166	169	168	176	167	159	164	181	165	
Y	87	86	91	94	87	91	95	104	84	82	92	91	
N	469	470	471	472	473	474	475	476	477	478	479	480	
X	171	159	174	160	169	167	170	161	174	178	168	168	
Y	92	91	88	85	89	83	91	85	87	91	90	93	
N	481	482	483	484	485	486	487	488	489	490	491	492	
X	165	173	166	175	158	174	178	170	167	168	161	161	
Y	85	89	84	98	83	86	90	86	93	94	89	88	
N	493	494	495	496	497	498	499	500	
X	166	169	164	181	165	171	169	168	
Y	84	85	89	90	90	90	81	80	

Выполните задание 1-й и 2-й частей для приведённого примера и дайте интерпретацию полученных результатов.

Требования к оформлению контрольной работы

Студент должен выполнить задания №№1-4 контрольной работы по варианту, номер которого равен остатку от деления шифра (номера зачётной книжки) на 20. Так, например, если шифр 1477, то остаток от деления этого числа на 20 равен 17 и, значит, следует решать 17-й вариант; если шифр 1846, то остаток равен 6, и следует решать 6-й вариант. Если остаток равен нулю, то нужно решать 20-й вариант. Выбирать данные для задачи №5 нужно так, как это указано в методических указаниях к этой задаче, т.е. основываясь на дате своего рождения и таблице случайных чисел.
Перед решением должно быть выписано условие. Выполнение каждого пункта должно сопровождаться необходимыми пояснениями.
Контрольную работу желательно набрать на компьютере, особенно тем, у кого неважный почерк. При обработке данных в задаче №5 допускается использование либо программируемого калькулятора, либо стандартных пакетов компьютерных программ, позволяющих обрабатывать статистические данные.

Список литературы

1.	Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Высшая школа, 1998.
2.	Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика. ИНФРА-М, 1997.
3.	Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая статистика. Наука, 1979.
4.	Раковщик Л.С., Худобина Э.А. Элементы дискретного анализа. ЛИЭИ, 1988.
5.	Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel. Ростов-на-Дону: Феникс, 2002.

Содержание дисциплины

Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика.
Тема 4.1 Случайные события и вероятность.
Предмет теории вероятностей. Испытание. Событие. Классификация событий. Классическое, геометрическое, статистическое определение вероятности случайного события. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли. Теоремы Муавра-Лапласа. Формула Пуассона.
Тема 4.2 Случайные величины.
Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения и ее свойства. Плотность вероятности и ее свойства. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое, равномерное, показательное, нормальное, пуассоновское распределения.
Тема 4.5 Математическая статистика.
Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма, эмпирическая функция распределения, выборочные средняя и дисперсия. Статистические оценки. Погрешность оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Определение необходимого объема выборки. Критерии согласия. Проверка гипотез о равенстве долей и средних. Функциональная зависимость и регрессия. Кривые регрессии и их свойства. Коэффициент корреляции, корреляционное отношение, их свойства и оценки. Статистические методы обработки экспериментальных данных.

Перечень контрольных вопросов для проверки знаний по дисциплине

1.	Что такое случайное событие?
2.	Какие действия возможны над событиями?
3.	Как выглядят формулы классической, геометрической, статистической вероятностей?
4.	Каковы общие свойства (аксиомы) вероятностей?
5.	Как находят вероятность суммы событий?
6.	Что такое условная вероятность? Как вычислить вероятность произведения событий?
7.	Формула полной вероятности и условия ее применения.
8.	Формула Байеса и условия ее применения.
9.	Схема испытаний Бернулли и формулы вычисления вероятностей для различных случаев.
10.	Как задается дискретная случайная величина?
11.	Что такое функция распределения? Как выглядит ее график для дискретной случайной величины?
12.	Что такое непрерывная случайная величина? Что можно сказать о ее функции распределения?
13.	Как вычислить вероятность попадания случайной величины в промежуток?
14.	Что характеризует математическое ожидание? Как его вычисляют?
15.	Для чего и как вычисляют дисперсию?
16.	Нормальный (гауссовский) закон распределения.
17.	Что такое эмпирическая функция распределения? Каковы особенности ее графика?
18.	Какие существуют свойства статастических оценок
19.	Как выдвигаются гипотезы
20.	Для чего нужны кривые регрессии?
21.	Что описывает коэффициент корреляции?
Приложения

Приложение 1. "Таблица случайных чисел"

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	
1534
6128
6047
0806
9915
2882
9213
8410
9974
3402
8188
3825
0801
5603
0714
4617
6789
6705
3840
7662
7639
3237
3917
9138
8358
1030
6606
4533
4258
5224
6872
8638
9958
0265
8987
5552
9383
9903
6530
8679
5765
7198
2385
0732
1642
4514
8744
3729
8858
3522	3156
7887
2550
5080
3371
5323
8832
1796
2105
7649
6316
5991
4554
9885
9860
2354
5238
6380
3645
4899
8001
0807
1175
6958
6005
6163
5277
1189
1740
4765
8098
9573
7016
8255
1112
3410
2966
7596
5113
3328
0047
3077
0220
9274
8039
4307
5872
0522
6043
0221	2836
4102
8644
5705
4525
4341
4388
3899
2103
8226
1492
1124
6338
6352
0378
7627
7306
8621
0774
2965
4391
4246
1721
6005
6286
1745
1564
4922
0992
8949
7962
7198
5822
2996
7878
9627
7394
0332
7589
8310
1639
6716
2678
8660
3795
7212
8038
5397
8410
6197	7873
2551
9343
7355
5695
3463
9760
3683
4326
0782
2139
7483
5899
6467
8266
0372
1856
1790
9241
3273
2950
7329
5469
6423
9242
2975
6668
9365
0106
7928
1867
0956
4224
0699
9404
9362
9592
9109
6928
2060
3512
0291
1399
5836
2600
0687
9087
6790
2783
6051	5574
0330
9297
1448
5752
1178
6691
1253
3825
3364
8823
9155
3309
0231
8864
8151
7028
4433
9297
0551
7122
7936
1914
7977
5040
2018
7822
1361
1542
7267
7437
0950
7601
3584
0487
6298
9903
0182
6014
6277
9843
5585
2371
9065
4532
7632
7222
2157
1290
3470	3912
9255
0864
6249
2918
8374
0120
5654
2473
8070
9938
5564
2435
8034
9842
5336
1993
7285
8682
3652
9660
4168
4635
8519
3275
6353
5204
7273
0005
0841
7219
6576
6345
3956
6837
2417
8114
1351
9545
0110
0460
8004
0150
4301
7859
8224
2792
8958
4112
5643	7590
6427
3500
7514
7172
1173
8214
6988
6187
4500
0613
3209
0968
2569
6687
1994
7161
0854
1739
8477
9727
4146
0387
7103
2941
6547
6564
1633
0392
1476
3516
5144
4985
1665
3805
0024
8939
9163
9307
7979
3786
5330
1212
0029
0376
0846
0028
6509
8873
5702	5574
7067
8754
9205
6988
0670
8813
9978
2721
5598
7161
5959
0539
9446
1221
4402
7526
9127
7734
1877
0080
0866
2756
4267
3913
0207
1659
6764
4057
2009
9129
3914
4856
0446
9172
9520
9972
9008
5107
6741
2384
0504
9569
8042
4384
7055
4511
5204
7585
0103	1202
9325
2913
0402
0227
0820
0611
8026
1489
9421
0241
2364
4205
4174
0678
2124
6913
3445
0119
5327
7467
4916
6073
9316
3028
5587
5369
0747
0092
1742
4153
5596
4461
9107
7887
9154
1257
2542
1354
6033
4919
6346
8650
0159
9203
4106
3191
4779
7185
8726	7712
2454
1258
2427
4264
5067
3131
6751
4216
3816
3834
2555
8257
9219
3714
0016
6393
1111
2436
8629
7947
8648
8984
7206
1563
0300
1659
3881
5203
3860
8084
6104
6147
6437
5197
0643
0994
4461
9257
3588
5611
3679
5841
0345
5387
9157
9846
5641
4726
5282	
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	
5489
3522
7555
5759
6303
7351
7068
3613
5143
9815
5780
1187
4184
2916
5524
0146
4920
7978
7453
1473
8162
5645
2042
5470
4045
5880
9083
1762
2023
7965
7690
9292
0867
0505
6295
6323
8672
1422
2653
0438
2851
7962
3837
8542
0139
6687
6242
6859
6590
3482	5583
0935
7579
3584
6895
5634
7803
1428
4534
5144
1277
0951
2179
2972
1341
5291
2826
1947
0653
6938
8797
4219
1192
7702
1730
1257
4260
8713
2589
3855
0436
0480
1656
2127
9795
2615
8536
5507
1472
4376
2157
2753
4098
4126
0765
1943
5582
9606
1932
0478	7106
8993
8566
5201
8274
7158
1223
9836
2362
8162
6596
7020
8788
1251
3757
5652
6279
4978
1086
3939
2868
7203
6271
9395
5896
5094
6305
8841
2012
5128
7492
8407
7172
3086
5441
3529
6640
4059
5070
8953
4987
2447
0605
8732
6094
1956
5580
6225
3147
5601	0835
5665
2487
9074
3196
2623
5119
8447
0368
8638
1013
5245
9083
0285
6565
5694
5402
3425
7497
5348
4707
3301
8851
9080
1704
4439
4998
1090
0424
0703
9629
4903
4220
5276
5761
3365
5773
0670
5735
8649
7085
8718
1217
2251
9484
0579
3197
4993
3623
6738	1988
7020
9477
7001
7231
7803
6350
0503
7890
6137
2867
5700
2254
0144
6981
0377
7937
7267
5969
1641
1880
4279
6432
5925
0345
7276
4298
8989
8924
1678
4819
5916
2533
2233
2575
1117
5412
3013
1469
8327
1129
7418
4732
0607
2577
8171
4919
0345
1973
7323	7545
2358
6751
9562
9630
5786
6861
1683
9079
7871
6878
4919
0807
3556
1374
3668
9043
6298
4239
1645
7325
0065
8653
1873
8509
7340
7142
6692
4760
0116
1526
7753
7559
9702
2939
6021
7699
6721
1832
1773
5286
1106
7968
4603
9740
2106
0424
3414
9796
8283	0938
7379
2349
3224
7380
2191
5026
3254
4240
5345
3930
7352
2965
8122
0171
6460
4332
1130
4191
0852
8446
4305
5757
0127
4738
6912
3965
3213
1969
7543
7241
8368
8227
4118
3336
3176
0930
3886
9331
4549
6821
3125
1637
8730
1976
8641
5991
1289
1795
4767	7460
7124
1012
6368
0438
0464
3684
7336
8652
4865
3203
0891
5154
3213
2284
9585
2327
7722
2976
5296
1883
9937
6656
9233
4862
0731
4028
1935
1636
0308
5128
3270
1004
8199
9322
2434
4697
3268
5303
7955
8373
3706
1097
7690
0623
7034
4058
8825
8465
0106	0869
7878
8250
9102
7547
0696
5657
9536
9435
2456
5696
6249
1209
7666
2707
3415
6875
0164
0361
4538
9768
3120
1660
2452
2556
9033
8936
9321
7237
9732
3853
6641
5138
6380
7403
5240
6919
9469
9914
5275
2572
8822
1040
6235
1418
3595
9769
6941
2110
2372	4420
5544
2633
2672
2644
9529
0304
1944
1422
5708
1769
6568
7069
0230
3008
2358
5230
8573
9334
4456
0881
5547
5389
7341
8333
5294
5148
4820
1227
1289
1921
0033
2537
6340
8345
5455
4569
2584
6394
2890
8962
1494
7372
3477
6685
3875
1918
7685
8045
9862	

Приложение 2. "Нормированная функция

Лапласа" 

z	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6	00000
03983
07926
11791
15542
19146
22575
25804
28814
31594
34134
36433
38493
40320
41924
43319
44520
45543
46407
47128
47725
48214
48610
48928
49180
49379
49534	00399
04380
08317
12172
15910
19497
22907
26115
29103
31859
34375
36650
38686
40490
42073
43448
44630
45637
46485
47193
47778
48257
48645
48956
49202
49396
49547	00789
04776
08706
12552
16276
19847
23237
26424
29389
32121
34614
36864
38877
40658
42220
43574
44738
45728
46562
47257
47831
48300
48679
48983
49224
49413
49560	01197
05172
09095
12930
16640
20194
23565
26730
29673
32381
34850
37076
39065
40824
42364
43699
44845
45818
46638
47320
47882
48341
48713
49010
49245
49430
49573	01595
05567
09483
13307
17003
20540
23891
27035
29955
32639
35083
37286
39251
40988
42507
43822
44950
45907
46712
47381
47932
48382
48745
49036
49266
49446
49585	01994
05962
09871
13683
17364
20884
24215
27337
30234
32894
35314
37493
39435
41149
42647
43943
45053
45994
46784
47441
47982
48422
48778
49061
49286
49461
49598	02392
06356
10257
14058
17724
21226
24537
27637
30511
33147
35543
37698
39617
41308
42786
44062
45154
46080
46856
47500
48030
48461
48806
49086
49305
49477
49609	02790
06749
10642
14431
18082
21566
24857
27935
30785
33398
35769
38000
39796
41466
42922
44179
45254
46164
46926
47558
48077
48500
48840
49111
49324
49492
49621	03188
07142
11026
14803
18439
21904
25175
28230
31057
33646
35993
38100
39973
41621
43056
44295
45352
46246
46995
47615
48124
48537
48870
49134
49343
49506
49632	03586
07535
11409
15173
18793
22240
25490
28524
31327
33891
36214
38298
40147
41774
43189
44408
45449
46327
47062
47670
48169
48574
48899
49158
49361
49520
49643	
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
5,0	49653
49744
49813
49865
49903
49931
49952
49966
49977
49984
49989
49993
49995
49997
49999	49664
49752
49819
49869
49906
49934
49953
49968
49978
49985
49990
49993
49995	49674
49760
49825
49874
49910
49936
49955
49969
49978
49985
49990
49993
49996	49683
49767
49831
49878
49913
49938
49957
49970
49979
49986
49990
49994
49996	49693
49774
49836
49882
49916
49940
49958
49971
49980
49986
49991
49994
49996	49702
49781
49841
49886
49918
49942
49960
49972
49981
49987
49991
49994
49996	49711
49788
49846
49889
49921
49944
49961
49973
49981
49987
49992
49994
49996	49720
49795
49851
49893
49924
49946
49962
49974
49982
49988
49992
49995
49996	49728
49801
49856
49896
49926
49948
49964
49975
49983
49988
49992
49995
49997	49736
49807
49861
49900
49929
49950
49965
49976
49983
49989
49992
49995
49997	

Приложение 3. "Значения чисел q в зависимости от объёма выборки n и надёжности  для определения доверительного интервала среднего квадратического отклонения "

n			
n		
	0.95	0.99	0.999			0.95	0.99	0.999	
7	0.92	-	-		25	0.32	0.49	0.73	
8	0.80	-	-		30	0.28	0.43	0.63	
9	0.71	-	-		35	0.26	0.38	0.56	
10	0.65	-	-		40	0.24	0.35	0.50	
11	0.59	0.98	-		45	0.22	0.32	0.46	
12	0.55	0.90	-		50	0.21	0.30	0.43	
13	0.52	0.83	-		60	0.188	0.269	0.38	
14	0.48	0.78	-		70	0.174	0.245	0.34	
15	0.46	0.73	-		80	0.161	0.226	0.31	
16	0.44	0.70	-		90	0.151	0.211	0.29	
17	0.42	0.66	-		100	0.143	0.198	0.27	
18	0.40	0.63	0.96		150	0.115	0.160	0.211	
19	0.39	0.60	0.92		200	0.099	0.136	0.185	
20	0.37	0.58	0.88		250	0.089	0.120	0.162	

Приложение 4. “Критические точки распределения ”

Число
Степеней
Свободы	Уровень значимости 	
	0,01	0,05	0,1	0,90	0,95	0,99	
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30	6,6
9,2
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20,1
21,7
23,2
24,7
26,2
27,7
29,1
30,6
32,0
33,4
34,8
36,2
37,6
38,9
40,3
41,6
43,0
44,3
45,6
47,0
48,3
49,6
50,9	3,8
6,0
7,8
9,5
11,1
12,6
14,1
15,5
16,9
18,3
19,7
21,0
22,4
23,7
25,0
26,3
27,6
28,9
30,1
31,4
32,7
33,9
35,2
36,4
37,7
38,9
40,1
41,3
42,6
43,8
	2,71
4,61
6,25
7,78
9,24
10,6
12,0
13,4
14,7
16,0
17,3
18,5
19,8
21,1
22,3
23,5
24,8
26,0
27,2
28,4
29,6
30,8
32,0
33,2
34,4
35,6
36,7
37,9
39,1
40,3	0,02
0,21
0,58
1,06
1,61
2, 20
2,83
3,49
4,17
4,87
5,58
6,30
7,04
7,79
8,55
9,31
10,1
10,9
11,7
12,4
13,2
14,0
14,8
15,7
16,5
17,3
18,1
18,9
19,8
20,6	0,004
0,1
0,35
0,71
1,15
1,64
2,17
2,73
3,33
3,94
4,57
5,23
5,89
6,57
7,26
7,96
8,67
9,39
10,1
10,9
11,6
12,3
13,1
13,8
14,6
15,4
16,2
16,9
17,7
18,5	0,0002
0,02
0,12
0,30
0,55
0,87
1,24
1,65
2,09
2,56
3,05
3,57
4,11
4,66
5,23
5,81
6,41
7,01
7,63
8,26
8,90
9,54
10,2
10,9
11,5
12,2
12,9
13,6
14,3
15,0	
Размещено на Allbest.ru